"Incorporare" una lingua in sé

Domanda principale / generale

Lascia che sia una lingua. Definire le lingue con e per . Considerare . Così, abbiamo più volte "embed" in se stessa per ottenere . $L$ $L_i$ $L_0 = L$

L_{i} = {x w y : x y \in L_{i - 1}, w \in L}

$L_i = \{xwy : xy \in L_{i-1}, w \in L\}$

i \geq 1

$i \geq 1$

\hat{L} = ⋃ L_{i}

$\hat{L} = \bigcup L_i$

L

$L$

\hat{L}

$\hat{L}$

È stato studiato? ha un nome? $\hat{L}$

Esempi / Motivation

Come richiesto nei commenti da parte ecco alcuni esempi per illustrare meglio ciò che è. Quindi, poiché nessuno (finora) sembra aver visto questa idea, discuterò la mia motivazione per guardarla. $\hat{L}$

Klaus Draeger mi ha battuto per aggiungere esempi. Metterò questi esempi dai commenti qui per una maggiore visibilità poiché sono buoni esempi.

Se è un linguaggio unario , allora (e quindi è normale). $L$ $\hat{L} = L^+$

Se , allora è il linguaggio di Dyck . $L = {ab}$ $\hat{L}$

Ecco un modo alternativo di pensare a . Data una lingua sopra un alfabeto giochiamo al seguente gioco. Prendiamo ogni il tentativo di ridurre alla stringa vuota rimuovendo ripetutamente sottoparole che si trovano in . (Qui dobbiamo fare un po 'di attenzione su come trattiamo la stringa vuota stessa per assicurarci che ciò sia equivalente alla definizione sopra, ma questo è moralmente corretto.) $\hat{L}$ $L$ $A$ $w \in A^*$ $w$ $\epsilon$ $L$

Originariamente sono arrivato la definiscono considerando poteri eliminazione di parole. Prendi come lingua dei cubi sopra l'alfabeto binario . Poi e si può considerare la seguente " -deletion" $\hat{L}$ $L = \{w^3 : w \in A^*\}$ $A = \{a,b\}$ $aaabaabaabbabab \in \hat{L}$ $L$

a (a a b a a b a a b) b a b a b \to a b a b a b \to ϵ .

$a(aabaabaab)babab \to ababab \to \epsilon.$

Osservare che non tutte le eliminazioni funzioneranno

(a a a) b a a b a a b b a b a b \to b a a b a a b b a b a b

$(aaa)baabaabbabab \to baabaabbabab$

e siamo bloccati con una parola senza cubi. Quindi, c'è un altro notazione "fortemente -deletable", che, in generale, non coincide con . $L$ $\hat{L}$

Un ultimo esempio, se nella lingua di quadrati sopra il binario alfabeto , allora è le corde sia con un numero pari di 's ed un numero pari di ' s. Chiaramente questa condizione è necessaria. Un modo per vederlo è sufficiente considerare di eliminare i quadrati e di ricordare che ogni parola binaria di lunghezza 4 o grande ha un quadrato. Qui è regolare. $L$ $A = \{a,b\}$ $\hat{L}$ $a$ $b$ $\hat{L}$

Per alfabeti più grandi questo tipo di argomento fallisce poiché ci sono parole arbitrariamente lunghe senza quadrati . Con alfabeti di dimensioni posso mostrare non è regolare utilizzando Myhill-Nerode e il fatto ci sono arbitrariamente parole lunga piazza-free, ma non sono stati in grado di dire molto di più. Speravo che guardarlo in questo modo più astratto potesse far luce sulla situazione (e questa definizione più astratta sembra interessante di per sé). $k \geq 3$ $\hat{L}$

reference-request fl.formal-languages

— John Machacek
fonte

Puoi fare alcuni esempi illustrativi?

— phs,

L

$L$

{()}

$\{()\}$

\hat{L}

$\hat{L}$

L = {a^{i} | i \in I}

$L=\{a^i|i\in I\}$

\hat{L} = L^{+}

$\hat{L}=L^+$

@phs Ho modificato la domanda con (molti) maggiori dettagli.

— John Machacek,

L

$L$

\hat{L}

$\hat{L}$

Grazie per gli esempi e la motivazione. Ora è molto più facile ricordare il tuo problema e risolverlo. Continua ad aggiornare la tua domanda originale se hai nuovi sviluppi.

— phs,

Questa domanda è collegata ai cosiddetti sistemi di inserimento .

$1 \rightarrow r$ $r$ $R$ $u \rightarrow_R v$ $u = u'u''$ $v = u'ru''$ $r \in R$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$ $\rightarrow_R$ $L$ $A^*$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$

[L]_{{\overset{*}{\to}}_{R}} = {v \in A^{*} ∣ there exists u \in L such that u {\overset{*}{\to}}_{R} v}

$[L]_{\buildrel{*}\over\rightarrow_R} = \{ v \in A^* \mid \text{ there exists $u \in L$ such that $u \buildrel{*}\over\rightarrow_R v$} \}$

E

$E$

⩽

$\leqslant$

x_{0}, x_{1}, \dots

$x_0, x_1, \ldots$

E

$E$

i < j

$i < j$

x_{i} ⩽ x_{j}

$x_i \leqslant x_j$

$H$ $A^* \setminus A^*HA^*$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$ $A^*$ $[L]_{\buildrel{*}\over\rightarrow_R}$

[1] W. Bucher, A. Ehrenfeucht e D. Haussler, Sui regolatori totali generati dalle relazioni di derivazione, Theor. Comput. Sci. 40 , 2-3 (1985), 131– 148.

— J.-E. perno
fonte

Come J.-E. Pin ha sottolineato che la mia domanda riguarda l' inserimento . Ho trovato un'altra fonte che posterò qui per chiunque sia interessato.

L.Kari. Su inserimento e cancellazione nei linguaggi formali. Ph.D. Tesi, Università di Turku, 1991.

Ecco la parte I e la parte II della tesi.

Da quello che posso dire, questa è la fonte originale per lo studio dell'inserzione.

— John Machacek
fonte