Numero di differenze distinte di interi scelti da

Ho riscontrato il seguente risultato durante la mia ricerca.

$lim_{n \to \infty} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] = 1$ $\lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n} \right] = 1$ dove e sono scelti a caso da . $m=\omega(\sqrt n)$ $a_1,\cdots,a_m$ $[n]$

Sto cercando un riferimento / una prova diretta.

Crossposted on MO

reference-request co.combinatorics pr.probability

— Zhu Cao
fonte

m = \sqrt{n}

$m = \sqrt{n}$ , il numero massimo di differenze differenti che puoi ottenere è

m (m - 1) / 2 < n / 2

$m(m-1)/2 < n/2$ . Quindi hai davvero bisogno che

m

$m$ cresca più velocemente di

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ perché questo sia vero. Quello che vorrei fare è cercare di calcolare la probabilità che un numero

d

$d$ è non è una differenza

d = | a_{i} - a_{j} |

$d = |a_i - a_j|$ .

— Peter Shor,

@Shor: grazie, ho aggiornato la domanda. E infatti poiché

E (\sum x_{i}) = \sum E (x_{i})

$\mathbb E(\sum x_i)=\sum \mathbb E(x_i)$ , è più facile calcolare una differenza specifica

d

$d$ .

— Zhu Cao,

@ZhuCao, quando dici "scegli

m

$m$ interi

a_{1}, . . ., a_{m}

$a_1,...,a_m$ modo casuale da

[1, n]

$[1,n]$ ", quale distribuzione intendi esattamente? Stavo assumendo l'uniforme

{1, \dots, n}

$\{1,\dots,n\}$ .

— usul

@Andras no, non è così. Ad esempio, se non viene scelto il numero

1

$1$ (che si verifica con probabilità limitata da 0), la differenza

n - 1

$n-1$ non può essere visualizzata e

D_{n} < n

$D_n<n$ . Ma perché deve essere così? La domanda chiede solo che l'aspettativa di

D_{n} / n

$D_n/n$ si avvicini a 1, non che

D_{n}

$D_n$ sia uguale a 1 con alta probabilità.

— James Martin,

Si prega di non effettuare il cross-post su più siti Exchange Stack. La nostra politica del sito proibisce il cross-posting simultaneo: dice almeno di aspettare una settimana. E se non ottieni una buona risposta, puoi sempre contrassegnarla per l'attenzione del moderatore per chiederne la migrazione.

— DW,

Supponiamo che . $m=\omega(\sqrt{n})$

Correggi qualsiasi . Considereremo con . Lo scopo è quello di mostrare che con alta probabilità da , è incluso nell'insieme delle differenze. $\epsilon>0$ $r\in[1,n]$ $r<(1-\epsilon)n$ $n\to\infty$ $r$

Innanzitutto considera l'insieme . Il numero di con tale che è binomiale con aspettativa attorno a . Quindi, con alta probabilità, come , il numero di tali sarà di almeno , che è . Quindi (affermazione, "lasciato come esercizio", non difficile da mostrare) con alta probabilità da , l'insieme ha dimensioni almeno . Scriviamo per questo "buon evento", che . $A=\{a_i:i<m/2\}\cap[1,\epsilon n]$ $i$ $i<m/2$ $a_i<\epsilon n$ $\epsilon m/2$ $n\to\infty$ $i$ $\epsilon m/4$ $\omega(\sqrt{n})$ $n\to\infty$ $A$ $\sqrt{n}$ $G$ $|A|\geq\sqrt{n}$

Supponiamo che effettivamente valga, cioè ci sono almeno valori distinti di inferiore a , per . Si noti che per ciascuno di tali valori, esiste un valore che è precisamente maggiore. Consideriamo ora i valori di per . Questi sono indipendenti e ciascuno ha probabilità almeno di trovarsi a distanza da un elemento dell'insieme . La probabilità che non venga prodotta alcuna differenza è quindi al massimo $G$ $\sqrt{n}$ $a_i$ $\epsilon n$ $i<m/2$ $k\in [1,n]$ $r$ $a_i$ $i\geq m/2$ $\sqrt{n}/n=1/\sqrt{n}$ $r$ $A$ $r$ $(1-1/\sqrt{n})^{m/2}$ che va da 0 come poiché . Quindi, in effetti, la probabilità che contenga ma non esiste alcuna differenza di dimensione tende a 0 come . $n\to\infty$ $m=\omega(\sqrt{n})$ $G$ $r$ $n\to\infty$

Quindi (uniformemente in ) la probabilità che sia inclusa nell'insieme delle differenze tende a 1 come . Quindi usando la linearità delle aspettative, Poiché è arbitrario, il limite è 1 come desiderato. $r<(1-\epsilon)n$ $r$ $n\to\infty$

\underset{n \to \infty}{lim inf} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] \geq 1 - ϵ .

$\liminf \limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n}\right] \geq 1-\epsilon.$

ϵ

$\epsilon$

— James Martin
fonte

Stai trattando ogni differenza come indipendente nell'espressione , e se è così, è giustificata?

1 - (1 - ϵ / n)^{ω (n)}

$1-(1-\epsilon/n)^{\omega(n)}$

— usul

@James Oh, ora vedo dove mi sono perso quel . Grazie.

n

$n$

— Daniel Soltész,

@usul: anzi, mi scuso, il mio argomento era sciatto e incompleto. L'ho espanso - penso che trattiene l'acqua adesso.

— James Martin,