Complessità nel decidere se una famiglia è una famiglia Sperner

Ci viene data una famiglia di m sottogruppi di {1, ..., n}. È possibile trovare un limite inferiore non banale alla complessità di decidere se F è una famiglia Sperner? Il limite inferiore banale è O ( n m ) e sospetto fortemente che non sia stretto.$\mathcal{F}$$m$$\mathcal{F}$$O(n m)$

$\mathcal{S}$$X$$Y$$\mathcal{S}$$X \ne Y$$X \nsubseteq Y$$Y \nsubseteq X$

Non puoi risolverlo per moltiplicazione di matrici? Lascia che i set siano , S 2 , … , S m . Prendi la matrice A per essere la matrice m × n dove A i j = 1 se j ∈ S i e 0 altrimenti, e B per essere la matrice m × n dove B i j = 1 se j ∉ S i e 0 altrimenti. Ora, A B $S_1$$S_2$$\ldots$$S_m$$A$$m \times n$$A_{ij}=1$$j \in S_i$$B$$m \times n$$B_{ij}=1$$j \notin S_i$$AB^T$ha una voce se e solo se c'è un set di F contenuto in un altro.$0$$\mathcal{F}$

Quindi, se provi un limite inferiore di nel caso in cui m = θ ( n ) , hai dimostrato lo stesso limite inferiore per la moltiplicazione di matrici. Questo è un famoso problema aperto.$\Omega(n^{2+\epsilon})$$m = \theta(n)$

Non ci ho pensato molto, ma non vedo in alcun modo che tu possa provare che questo caso particolare di moltiplicazione di matrici è essenzialmente duro come il caso generale; se hai davvero bisogno di un limite inferiore, questa sembra essere l'unica speranza che hai di provarlo senza risolvere il problema della moltiplicazione della matrice.

Tra i lati positivi, questo fornisce algoritmi per questo problema migliori dell'algoritmo ingenuo che richiede .$\theta(m^2n)$