Numero di vertici presenti in tutti gli abbinamenti massimi

Dato un grafico , dobbiamo trovare la cardinalità del più grande insieme di vertici in modo che ciascuno di essi sia presente in ogni massima corrispondenza possibile. $G$

C'è una soluzione accanto all'ovvio rimuovere ciascun vertice e trovare la corrispondenza massima per vederlo ridurre?

graph-theory graph-algorithms

— Hououin Kyouma
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Non vedo come quella che hai suggerito sia persino una soluzione.

$\:$ (Considera un triangolo.)

$\hspace{1.4 in}$

@RickyDemer prima troviamo la massima corrispondenza nell'intero grafico. Quindi, rimuoviamo un vertice e troviamo di nuovo la corrispondenza massima. Se la differenza è 1, allora possiamo dire che questo vertice è presente in tutti gli abbinamenti massimi.

— evil999man,

"Trova la corrispondenza massima" deve essere sostituito con "Trova la corrispondenza massima" o "Trova tutte le corrispondenze massime"?

$\;$

Penso che dovrebbe essere sostituito con le dimensioni della corrispondenza massima.

— evil999man,

@Awesome ha ragione. Modificherò la mia domanda.

— Hououin Kyouma,

Risposte:

$O(n^3)$

— Thomas Kalinowski
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Ho bisogno solo di dimensioni, non dei vertici stessi. Questo può essere fatto in O (n ^ 2)? E grazie per l'articolo

— Hououin Kyouma,

$v$

Effettuando due ricerche in ampiezza o in profondità, una per trovare le parti del grafico che possono essere raggiunte da vertici ineguagliati e una per trovare le parti che possono raggiungere vertici ineguagliati, è possibile trovare i vertici essenziali in tempo lineare una volta che ho già la corrispondenza.

Probabilmente qualcosa del genere funzionerà anche per il caso non bipartito, usando una ricerca di percorsi alternati che si contrae in fiore, ma i dettagli saranno più complicati.

— David Eppstein
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Sono curioso di come lo faresti in un grafico generale. Potresti spiegarlo?

— evil999man,

Se l'avessi già elaborato in dettaglio, l'avrei incluso nella mia risposta. Ma fondamentalmente vuoi solo trovare i vertici che possono essere raggiunti alternando percorsi da vertici non raggiunti, poiché quelli che potrebbero essere lasciati senza pari. La ricerca del percorso alternato dovrebbe essere praticamente uguale a quella utilizzata per trovare la corrispondenza in primo luogo.

— David Eppstein,

Ci scusiamo per il commento in ritardo. Il mio grafico è generale. Proverò a pensare attraverso il metodo

— Hououin Kyouma,