Formula esatta per il numero di spanning tree di un rettangolo

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Questo blog parla di generare "piccoli labirinti tortuosi" usando un computer per elencarli. L'enumerazione può essere fatta usando l'algoritmo di Wilson per ottenere l' UST , ma non ricordo la formula per quanti ce ne sono.

http://strangelyconsistent.org/blog/youre-in-a-space-of-twisty-little-mazes-all-alike

In linea di principio, il teorema dell'albero della matrice afferma che il numero di spanning tree di un grafico è uguale al determinante della matrice laplaciana del grafico. Sia $G= (E,V)$ il grafico e $A$ sia la matrice di adiacenza, $D$ sia la matrice dei gradi, quindi $\Delta = D - A$ con autovalori $\lambda$ , quindi:

k (G) = \frac{1}{n} \prod_{k = 1}^{n - 1} λ_{k}

$k(G) = \frac{1}{n} \prod_{k=1}^{n-1} \lambda_k$

$m \times n$ $A$

$m \times n$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Ecco un bell'esempio dell'algoritmo di Wilson in azione.

— John Mangual
fonte

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Enciclopedia online delle sequenze di numeri interi Le formule esatte non sembrano facili da derivare.

— Peter Shor,

@PeterShor OEIS cita: Germain Kreweras, Complexite et circuit Euleriens in the sommes tensorielles de graphes , J. Combin. Teoria, B 24 (1978), 202-212. È gli stessi nostri oggetti, vero?

— john mangual,

m \times n

$m \times n$

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Secondo https://www.cse.ust.hk/~golin/pubs/ANALCO_05.pdf non è nota alcuna formula in forma chiusa.

$n$ $m$

\exp (z_{s q} m n)

$\exp (z_{\mathrm{sq}}mn)$

z_{s q} = \frac{4}{π} \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{i}}{(2 i + 1)^{2}} \approx 1.16624

$z_{\mathrm{sq}}=\frac{4}{\pi}\sum_{i=0}^\infty\frac{(-1)^i}{(2i+1)^2}\approx 1.16624$

m

$m$

n

$n$

— David Eppstein
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Esistono formule asintotiche precise per il numero di spanning tree in un rettangolo (e sequenze più generali di sottografi descritti da poligoni rettilinei) qui fornite: arxiv.org/pdf/math-ph/0011042.pdf (in particolare, corollario 2 e proposizione 13 )

— Lorenzo Najt,

Ancora una volta, questo è in un repository di fisica matematica. Dimostrano rigorosamente le formule asintotiche o usano semplicemente un ragionamento ansatz simile alla fisica?

— David Eppstein,

È stato pubblicato su Acta Math 185 (2000) n. 2, 239-286.

— Lorenzo Najt,

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Gli autovalori del grafico rettangolo m-per-n possono essere utilizzati per ottenere un'espressione per il numero di corrispondenze perfette in tali grafici. Vedi l'articolo di Wikipedia sui tetti del domino .

— Tyson Williams
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Questo è interessante, ma puoi spiegare come questo risolve la domanda? C'è qualche tipo di mappatura tra abbinamenti perfetti e spanning tree in questo caso particolare?

— Saeed,