Formula esatta per il numero di spanning tree di un rettangolo


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Questo blog parla di generare "piccoli labirinti tortuosi" usando un computer per elencarli. L'enumerazione può essere fatta usando l'algoritmo di Wilson per ottenere l' UST , ma non ricordo la formula per quanti ce ne sono.

http://strangelyconsistent.org/blog/youre-in-a-space-of-twisty-little-mazes-all-alike

In linea di principio, il teorema dell'albero della matrice afferma che il numero di spanning tree di un grafico è uguale al determinante della matrice laplaciana del grafico. Sia G=(E,V) il grafico e A sia la matrice di adiacenza, D sia la matrice dei gradi, quindi Δ=DA con autovalori λ , quindi:

k(G)=1nk=1n1λk

m×nA

m×n

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Ecco un bell'esempio dell'algoritmo di Wilson in azione.


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Enciclopedia online delle sequenze di numeri interi Le formule esatte non sembrano facili da derivare.
Peter Shor,

@PeterShor OEIS cita: Germain Kreweras, Complexite et circuit Euleriens in the sommes tensorielles de graphes , J. Combin. Teoria, B 24 (1978), 202-212. È gli stessi nostri oggetti, vero?
john mangual,

m×n

Risposte:


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Secondo https://www.cse.ust.hk/~golin/pubs/ANALCO_05.pdf non è nota alcuna formula in forma chiusa.

nm

exp(zsqmn)
zsq=4πi=0(1)i(2i+1)21.16624
mn

Esistono formule asintotiche precise per il numero di spanning tree in un rettangolo (e sequenze più generali di sottografi descritti da poligoni rettilinei) qui fornite: arxiv.org/pdf/math-ph/0011042.pdf (in particolare, corollario 2 e proposizione 13 )
Lorenzo Najt,

Ancora una volta, questo è in un repository di fisica matematica. Dimostrano rigorosamente le formule asintotiche o usano semplicemente un ragionamento ansatz simile alla fisica?
David Eppstein,

È stato pubblicato su Acta Math 185 (2000) n. 2, 239-286.
Lorenzo Najt,

0

Gli autovalori del grafico rettangolo m-per-n possono essere utilizzati per ottenere un'espressione per il numero di corrispondenze perfette in tali grafici. Vedi l'articolo di Wikipedia sui tetti del domino .


Questo è interessante, ma puoi spiegare come questo risolve la domanda? C'è qualche tipo di mappatura tra abbinamenti perfetti e spanning tree in questo caso particolare?
Saeed,
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