Il SAT 1-in-3 rimane NP-difficile anche se ogni variabile si presenta sia positivamente che negativamente?

Il problema standard 1-in-3 SAT (o XSAT o X3SAT) è:
Istanza : una formula CNF con ogni clausola contenente esattamente 3 valori letterali
Domanda : esiste un'assegnazione soddisfacente che imposta esattamente 1 valore letterale per clausola vero?

Il problema è NP-completo e rimane difficile anche se nessuna variabile si presenta negata. Mi chiedo se questo problema diventi facile o rimanga difficile se è necessario che ogni variabile si verifichi almeno una volta positivamente e almeno una volta negativamente .

La solita riduzione da 3SAT che mostra che 1-in-3 SAT è difficile sostituisce una clausola con clausole , , dove $(x\lor y \lor z)$ $(\lnot x \lor a \lor b)$ $(y\lor b\lor c)$ $(\lnot z \lor c \lor d)$ $a,b,c,d$ sono freschi per ogni clausola. Pertanto, questa riduzione non aiuta a rispondere alla mia domanda. Ho avuto difficoltà a trovare un gadget che mostra la durezza di questa variante, poiché se esattamente 1 letterale in una clausola è vero, allora 2 letterali non simmetrici sono falsi. Se risulta facile, pensare in termini di partizioni del set di clausole potrebbe farlo, ma non riesco a vedere come.

cc.complexity-theory np-hardness sat

— Dominik Peters
fonte

Può essere ridotto a 2 sat?

— Joshua Herman,

X_{i}

$X_i$

(X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor W) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Y) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Z)

$(X_i\vee \overline X_i \vee W) \wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Y)\wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Z)$

(W \lor Y \lor \bar{Z})

$(W \vee Y \vee \overline Z)$

(\bar{W} \lor Y \lor Z) \land (W \lor \bar{Y} \lor Z)

$(\overline W \lor Y\lor Z)\land(W\lor\overline Y \lor Z)$

X_{i} \lor {\bar{X}}_{i}

$X_i\lor\overline X_i$

Posso incoraggiarti a scrivere una risposta completa alla tua domanda, forse sulla base dell'idea di Neal Young? (Per inciso, non sono sicuro del perché sia "insoddisfacente". Una riduzione è una riduzione.)

— DW,

Se quel caso speciale è quello a cui tieni davvero, forse ha senso modificare la tua domanda per riflettere quel vincolo in più?

— DW,

In un commento, OP ha espresso interesse per una riduzione che ha generato istanze con 3 variabili distinte per clausola. Ecco un approccio semplice:

La riduzione è da 1 a 3 SAT con 3 variabili distinte per clausola:

Prima di tutto, includi tutte le clausole nella formula di input come clausole nella formula di output.
$F_1$ $F_2$ $F_3$ $(\neg F_1, F_2, F_3)$ $(F_1, \neg F_2, F_3)$ $(F_1, F_2, \neg F_3)$
$x$ $x'$ $(x, x', F_1)$ $(\neg x, \neg x', F_1)$

Verifichiamo che questa riduzione fa quello che vogliamo. Le seguenti proprietà sono ciò che vogliamo:

Ogni clausola ha sempre tre variabili distinte.
Ogni variabile si presenta in alcune clausole positivamente e in alcune clausole negativamente.
La formula di input è equivalente alla formula di output.

$F_1$ $F_2$ $F_3$

$F_1$ $F_2$ $F_3$ $F_i$ $F_1$ $(x, x', F_1)$ $(\neg x, \neg x', F_1)$ $x' = \neg x$ $x'$ $x'$ $x$ $F_i$

— Mikhail Rudoy
fonte