Perché il miglioramento Odlyzko dell'algoritmo di Shor riduce il numero di prove a

Nel suo articolo del 1995 Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization e Discrete Logarithms su un computer quantistico , Peter W. Shor discute di un miglioramento nella ricerca del suo algoritmo di fattorizzazione. Le uscite algoritmo standard $r'$ , un divisore dell'ordine $r$ di $x$ modulo $N$ . Invece di verificare se $r'=r$ controllando se , il miglioramento è il seguente: $x^{r'}\equiv 1 \mod N$

[F] o un candidato uno dovrebbe considerare non solo ma anche i suoi piccoli multipli , per vedere se questi sono l'effettivo ordine di . [... Questa] tecnica ridurrà il numero previsto di prove per il più difficile da a se il primo ( multipli di Sono considerati [Odylzko 1995]. $r$ $r ′$ $2r ′ , 3r ′ , \dots$ $x$ $n$ $O(\log \log n)$ $O(1)$ $\log n)^{1+\epsilon}$ $r ′$

Il riferimento a [Odylzko 1995] è una "comunicazione personale", ma non ero presente quando Peter Shor e Andrew Odlyzko ne hanno discusso ... Capisco perfettamente perché è un miglioramento, ma non so come mostrare il numero delle prove è ridotto a . Conosci qualche prova di questo? $O(1)$

quantum-computing nt.number-theory factoring

— Frédéric Grosshans
fonte

Cosa fa l'algoritmo? In sostanza, prende e un casuale e restituisce . quindi se controlli tutti i piccoli multipli di , allora è molto probabile che sia uno di questi. Perché dà ? Questa è la teoria dei numeri. Andrew Odlyzko è un teorico dei numeri e l'ho consultato su questo problema, ma ho completamente dimenticato la sua giustificazione per questo.

r

$r$

ℓ \leq r

$\ell \leq r$

r^{'} = r / g c d (ℓ, r)

$r' = r/gcd(\ell,r)$

r^{'}

$r'$

r

$r$

(\log n)^{1 + ϵ}

$(\log n)^{1+\epsilon}$

O (1)

$O(1)$

— Peter Shor,

Grazie! Sembra che dovrei cercare un teorico dei numeri da solo!

— Frédéric Grosshans,

Potresti provare MathOverflow .

— Kaveh,

Ci sto pensando. Probabilmente lo riformulerò in un modo più "teorico dei numeri" per questo, se non avrò presto la risposta. Penso che possa essere riformulato come una somma di funzioni totali.

— Frédéric Grosshans,

@Kaveh: la domanda correlata su MathOverflow , che pone una domanda relativa alla teoria dei numeri che, a mio avviso, è equivalente.

— Frédéric Grosshans,