Una classe di grafi ereditaria può contenere quasi tutti, ma non tutti, i grafici n-vertici?


10

Lascia che sia una classe ereditaria di grafici. (Ereditaria = chiuso rispetto a prendere sottografici indotte.) Sia Q n denota l'insieme di n grafici -vertex in Q . Diciamo che Q contiene quasi tutti i grafici, se la frazione di tutti i grafici n -vertex che ricadono in Q n si avvicina a 1, come n .QQnnQQnQnn

Domanda: è possibile che un grafico ereditario di classe contenga quasi tutti i grafici, ma per ogni n esiste almeno un grafico che non è in Q n ?QnQn

Risposte:


10

La risposta è no - per un fisso lasciare t essere il numero di vertici nel più piccolo grafico H non in Q . Ora, considera n molto più grande di t . Per un grafico casuale su n vertici, la probabilità che i primi vertici t inducano H dipende solo da t . Partizionare l'insieme di vertici in n / t insiemi disgiunti di dimensione t e considerando la probabilità che nessuno degli insiemi sia uguale a H mostra che la probabilità di trovarsi in Q tende a 0 comeQtHQntntHtn/ttHQ0 aumenta.n


5
expcnKnKtexpcn2

exp(exp(clogn))

1
expcn2loglognqKq2q(q+1)Kq

10

CCnCnC|Cn|Glimn|Qn|/|Gn|=1Q

Q|Qn|p(n)p(n)=2Θ(n)|Qn||Qn|=Ω(p(n))

  • József Balogh, Béla Bollobás, Michael Saks e Vera T. Sós, La velocità senza etichetta di una proprietà grafica ereditaria , Journal of Combinatorial Theory, Series B, 99 9–19, 2009. doi: 10.1016 / j.jctb.2008.03.004 ( prestampa )
Utilizzando il nostro sito, riconosci di aver letto e compreso le nostre Informativa sui cookie e Informativa sulla privacy.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.