Una classe di grafi ereditaria può contenere quasi tutti, ma non tutti, i grafici n-vertici?

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Lascia che sia una classe ereditaria di grafici. (Ereditaria = chiuso rispetto a prendere sottografici indotte.) Sia denota l'insieme di grafici -vertex in . Diciamo che contiene quasi tutti i grafici, se la frazione di tutti i grafici -vertex che ricadono in avvicina a 1, come . $Q$ $Q_n$ $n$ $Q$ $Q$ $n$ $Q_n$ $n\rightarrow\infty$

Domanda: è possibile che un grafico ereditario di classe contenga quasi tutti i grafici, ma per ogni esiste almeno un grafico che non è in ? $Q$ $n$ $Q_n$

graph-theory

— Andras Farago
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La risposta è no - per un fisso lasciare essere il numero di vertici nel più piccolo grafico non in . Ora, considera molto più grande di . Per un grafico casuale su vertici, la probabilità che i primi vertici inducano dipende solo da . Partizionare l'insieme di vertici in insiemi disgiunti di dimensione e considerando la probabilità che nessuno degli insiemi sia uguale a mostra che la probabilità di trovarsi in tende a come $Q$ $t$ $H$ $Q$ $n$ $t$ $n$ $t$ $H$ $t$ $n/t$ $t$ $H$ $Q$ $0$ aumenta. $n$

— Daniello
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\exp - c n

$\exp -cn$

K_{n}

$K_n$

K_{t}

$K_t$

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

\exp (- \exp (c \sqrt{\log n}))

$\exp(-\exp(c \sqrt{\log n}))$

1

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

\log \log n

$\log \log n$

q

$q$

K_{q^{2}}

$K_{q^2}$

q (q + 1)

$q(q+1)$

K_{q}

$K_q$

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$C$ $C_n$ $C$ $n$ $C$ $|C_n|$ $G$ $\lim_{n\to \infty} |Q_n|/|G_n| = 1$ $Q$

$Q$ $|Q_n|$ $p(n)$ $p(n) = 2^{\Theta(\sqrt{n})}$ $|Q_n|$ $|Q_n| = \Omega(p(n))$

József Balogh, Béla Bollobás, Michael Saks e Vera T. Sós, La velocità senza etichetta di una proprietà grafica ereditaria , Journal of Combinatorial Theory, Series B, 99 9–19, 2009. doi: 10.1016 / j.jctb.2008.03.004 ( prestampa )

— András Salamon
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