Numero limitato di occorrenze variabili in SAT 1-in-3

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Esiste un risultato noto sulla classe di complessità 1-in-3-SAT con un numero limitato di occorrenze variabili?

Ho escogitato la seguente riduzione parsimoniosa con Peter Nightingale, ma voglio citare qualcosa se questo è noto.

Ecco il trucco che abbiamo trovato. Ciò mostra che 1-in-3-SAT limitato a 3 occorrenze per variabile è NP completo e #P completo (poiché 1-in-3-SAT è) , mentre 3-SAT limitato a 3 occorrenze è in P

Diciamo che abbiamo più di tre occorrenze di x. Supponiamo di aver bisogno di 6. Quindi introdurremo 5 nuove variabili da x2 a x6 equivalenti a xe due nuove variabili d1 e d2 garantite come false con le seguenti 6 nuove clausole:

x  -x2 d1
x2 -x3 d1
x3 -x4 d1
x4 -x5 d2
x5 -x6 d2
x6 -x  d2

Ovviamente sostituiamo ogni occorrenza di x dopo la prima con xi per alcuni i. Ciò dà tre occorrenze di ogni xi e d.

Quanto sopra imposta ogni di su su false e tutti gli xi sullo stesso valore. Per vedere questo, x deve essere vero o falso. Se è vero, allora la prima clausola imposta x2 true e d1 false, e quindi questo si propaga verso il basso i clasues. Se x è falso, l'ultima clausola imposta x6 falso e d2 falso e propaga le clausole. È ovviamente fortemente parsimonioso, quindi conserva il conteggio.

reference-request sat reductions

— Ian Gent
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Per quanto ne so, gli attuali "limiti" sono stati stabiliti in:

Stefan Porschen, Tatjana Schmidt, Ewald Speckenmeyer, Andreas Wotzlaw: XSAT e NAE-SAT di classi CNF lineari. Discrete Applied Mathematics 167: 1-14 (2014)

Vedi anche la tesi di Schmidt: Complessità computazionale di SAT, XSAT e NAE-SAT per formule CNF Horn lineari e miste

$k$ $CNF^l_+$ $k$ $CNF^l$ $k, l \geq 3$

$3$ $CNF^3$ $l=3$

$CNF_+$

— Marzio De Biasi
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C N F_{+}

$CNF_+$

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(Capisco che questa deve essere una risposta tardiva; sto scrivendo per i futuri lettori)

C'è un risultato più forte evern in letteratura.

Cubic Planar Positivo 1-in-3 La soddisfazione è dimostrata NP-completa in Moore e Robson, problemi di piastrellatura dura con piastrelle semplici . (Dicono "monotono" piuttosto che "positivo". Vedi infine la nota aggiunta)

Il risultato menzionato è più forte del risultato nella tesi di Schmidt perché qui il grafico della formula è limitato per essere planare. (La condizione è in effetti più forte: danno un particolare tipo di incorporamento chiamato incorporamento rettilineo)

$G_B$ $B=(X,C)$ $X\cup C$ $E:= \{ x_iC_j\ :\$ $x_i$ $C_j$ $\}$ $X$ $C$

$B=(X,C)$ $X$ $C$ $X$ $G_B$ $B$
$X$ $C$

Si noti che ogni clausola contiene esattamente 3 variabili distinte e ogni variabile appare esattamente in 3 clausole.

Vedi la tesi di Tippenhauer su Planar 3-SAT e le sue varianti (2016) per varianti sat che limitano il numero di occorrenze variabili.
Nota: ci sono alcune varianti scoperte dopo la pubblicazione di questa tesi.

Nota aggiunta: il risultato di Moore e Robson ha dimostrato che la soddisfazione 1-in-3 positiva planare cubica è NP-completa. (Cioè, la formula booleana non è solo monotona, è positiva (cioè, nessun letterale negato)). Sfortunatamente, in molti primi articoli, il termine "monotono" era usato per indicare "positivo". La riduzione di Moore e Robson non introduce letterali negati. La loro riduzione è dovuta alla soddisfazione 1-in-3 planare 'Monotone' nel documento di Laroche. L'affidabilità Planar 1-in-3 è NP-completa . Non ho potuto ottenere questo documento, ma molto probabilmente Laroche ha anche significato positivo dicendo "monotono". Anche se non intendeva questo, possiamo usare la soddisfazione planare positiva 1 su 3 di Mulzer e Rote ' come problema di origine invece.

Vedi questa risposta per una domanda in cs.se

— Cyriac Antony
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