In che misura, la capacità computazionale per compiti difficili aiuta a risolvere compiti facili

In breve, la domanda è: in che misura, la capacità computazionale per i compiti difficili ti aiuta davvero a risolvere compiti facili. (Potrebbero esserci vari modi per rendere questa domanda interessante e non banale, ed ecco uno di questi tentativi.)

Domanda 1:

Considera un circuito per risolvere SAT per una formula con n variabili. (O per trovare il ciclo hamiltoniano per un grafico con spigoli.) $n$

Supponiamo che ogni gate consenta il calcolo di una funzione booleana arbitraria su variabili . Per concretezza prendiamo . $m$ $m=0.6 n$

L'ipotesi del tempo esponenziale forte (SETH) afferma che anche con cancelli così forti abbiamo bisogno della dimensione del circuito superpolinomiale. In effetti, abbiamo bisogno di dimensioni almeno per ogni In un certo senso, le porte sulla frazione delle variabili che rappresentano funzioni booleane molto complicate (molto al di là della completezza NP) non ti danno molto vantaggio. $\Omega (2^{(0.4-\epsilon) n})$ $\epsilon.$

Possiamo inoltre chiedere:

(i) Possiamo avere un tale circuito di dimensione ? ? $2^{0.9 n}$ $2^{(1-\epsilon)n}$

Una risposta "no" sarà un vasto rafforzamento del SETH. Certo, forse c'è una semplice risposta "Sì", che mi manca semplicemente.

(ii) Se la risposta a (i) è SÌ, le porte che calcolano le funzioni booleane arbitrarie offrono alcuni vantaggi rispetto alle porte che "solo" calcolano (diciamo) le funzioni NP arbitrarie; o solo piccoli esempi di SAT stesso?

La domanda successiva tentativi di chiedere qualcosa di simile per le domande in . $P$

Domanda 2:

Come prima lascia e per concretezza . (Anche altri valori di come sono interessanti.) Considera i seguenti tipi di circuiti: $m< n$ $m=0.6n$ $m$ $m=n^\alpha$

a) In un solo passaggio è possibile calcolare una funzione booleana arbitraria su variabili. $m$

b) In un solo passaggio puoi risolvere un problema SAT con variabili . O forse un circuito non deterministico arbitrario di dimensione polinomiale in variabili . $m$ $m$

c) In un solo passaggio è possibile eseguire un circuito arbitrario su variabili di dimensione ( è fisso). $m$ $m^d$ $d$

d) In un solo passaggio puoi eseguire le normali porte booleane.

Consideriamo la domanda di trovare una corrispondenza perfetta per un grafico con bordi. La corrispondenza ha un circuito di dimensioni polinomiali. La domanda è se l'esponente in un tale algoritmo di adattamento può essere migliorato quando si passa da circuiti di tipo d) a circuiti di tipo c) e da circuiti di dimensione c) a circuiti di dimensione b) e da circuiti di dimensione b) ) a circuiti di dimensioni a). $n$

(Ciò può essere correlato a problemi ben noti sul calcolo parallelo o sugli oracoli.)

cc.complexity-theory dc.parallel-comp

— Gil Kalai
fonte

In realtà il forte ETH non è così forte: dice solo che non si può avere un algoritmo uniforme in esecuzione in tempo

per SAT con clausole

, per tutti

. Consentire funzioni booleane arbitrarie su piccoli insiemi di variabili ti mette in un circuito non uniforme. Il "SETH non uniforme" è una variante interessante ma non credo che sia stato ancora studiato troppo da vicino.

O ({1.9999}^{n})

$O(1.9999^n)$

c n

$cn$

c

$c$

— Ryan Williams,

Caro Rayan, giusto, mi sento più a mio agio nel considerare il caso non uniforme. Una mancata risposta alla domanda 1 sarà un vasto rafforzamento del SETH non uniforme. (Ho pensato che SETH non uniforme come rinforzo di SETH, ma forse mi sbagliavo.) Forse puoi riformulare le domande 1 e 2 per algoritmi uniformi. In ogni caso, forse con versioni così forti di SETH e SETH non uniformi, sarà possibile trovare un controesempio.

— Gil Kalai,

Immagino che tu voglia stare attento a ciò che

è: in SETH indica il numero di variabili, in quanto sopra sembra indicare la lunghezza dell'input. Se si consentono gate che possono "calcolare SAT su

istanze variabili", è banale ottenere un circuito di profondità 2

per

variabile SAT: prendere un OR su tutte le possibili assegnazioni a

variabili e usa le tue porte SAT per risolvere SAT sulle restanti variabili

. Ma questo probabilmente non è quello che stai cercando ... vero?

n

$n$

.1 n

$.1n$

2^{.9 n}

$2^{.9n}$

n

$n$

.9 n

$.9n$

.1 n

$.1n$

— Ryan Williams,

Contando si dovrebbe essere in grado di calcolare circa funzioni con tali circuiti di dimensioni in modo direi dovrebbe essere sufficiente per calcolare tutte le funzioni. $2^{2^m \cdot s}$ $s$ $s=2^{n-m}$

— Boaz Barak
fonte

Ciao, @Boaz Barak. Ti dispiacerebbe se ho unito i tuoi due account su questo sito?

— Lev Reyzin

Grazie Boaz. Immagino che lo spirito della domanda sia questo: se vai molto al di sotto di ciò che è necessario per calcolare tutte le funzioni, puoi ancora calcolare una funzione NP completa.

— Gil Kalai,