dimensione del circuito più piccola utilizzando porte XOR

Supponiamo di avere un insieme di n variabili booleane x_1, ..., x_n e un insieme di funzioni m y_1 ... y_m dove ogni y_i è lo XOR di un sottoinsieme (dato) di queste variabili. L'obiettivo è calcolare il numero minimo di operazioni XOR che è necessario eseguire per calcolare tutte queste funzioni y_1 ... y_m.

Si noti che il risultato di un'operazione XOR, ad esempio x_1 XOR x_2 potrebbe essere utilizzato nel calcolo di più y_j ma viene conteggiato come uno. Inoltre, tieni presente che potrebbe essere utile calcolare XOR di una raccolta molto più ampia di x_i (più grande di qualsiasi funzione y_i, ad es. Calcolare XOR di tutti gli x_i) al fine di calcolare y_i in modo più efficiente,

Equivalentemente, supponiamo di avere una matrice binaria A, un vettore X e l'obiettivo è calcolare il vettore Y in modo tale che AX = Y abbia tutte le operazioni eseguite in GF (2) usando il numero minimo di operazioni.

Anche quando ogni riga di A ha esattamente k una (diciamo k = 3) è interessante. Qualcuno sa sulla complessità (durezza di approssimazione) per questa domanda?

Mohammad Salavatiopur

Questo è NP-difficile. Vedi: Joan Boyar, Philip Matthews, René Peralta. Tecniche di minimizzazione della logica con applicazioni alla crittografia. http://link.springer.com/article/10.1007/s00145-012-9124-7

La riduzione è da Vertex Cover ed è molto bella.

Dato un grafico con m = | E | , definisci una matrice m × ( n + 1 ) A come: A [ i , j ] = 1 se j < n + 1 e ( i , j ) ∈ E , e A [ i , $(\{1,\ldots,n\},E)$$m=|E|$$m \times (n+1)$$A$$A[i,j] = 1$$j < n+1$$(i,j) \in E$ . In altre parole, dato n + 1 variabili x 1 , ... , x n + 1 vogliamo calcolare il m lineari forme x i + x j + x n + 1 per tutti ( i , j ) ∈ E .$A[i,n+1] = 1$$n+1$$x_1,\ldots,x_{n+1}$$m$$x_i+x_j+x_{n+1}$$(i,j) \in E$

Un piccolo pensiero mostra che esiste un circuito XOR per con porte di fan-in due che calcolano la trasformazione lineare A con solo porte m + k , dove k è la copertura ottimale del vertice per il grafico. (Primo calcolare x i ' + x n + 1 per tutti i ' nella copertura dei vertici, utilizzando k operazioni. Le forme lineari sono poi tutti calcolabili in m operazioni più.) Si scopre che questo è anche un circuito dimensione minima!$A$$A$$m+k$$k$$x_{i'} + x_{n+1}$$i'$$k$$m$

La prova che la riduzione è corretta non è così bella. Mi piacerebbe vedere una breve prova che questa riduzione è corretta.