Il grafico infinito delle diagonali ha una componente infinita?

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Supponiamo di collegare i punti di usando l'insieme dei bordi non orientati tale che sia collegato a o sia collegato a , in modo indipendente e uniforme a caso per tutti . $V = \mathbb{Z}^2$ $E$ $(i, j)$ $(i + 1, j + 1)$ $(i + 1, j)$ $(i, j + 1)$ $i, j$

(Ispirato dal titolo e dalla copertina di questo libro .)

Qual è la probabilità che questo grafico abbia un componente collegato infinitamente grande? Allo stesso modo, considera , il complemento dell'incorporamento planare del grafico. Qual è la probabilità che il complemento abbia un componente infinito connesso? $\mathbb{R}^2 \setminus G$

Chiaramente, se tutte le diagonali puntano allo stesso modo, sia il grafico che il suo complemento hanno una componente infinita. Che ne dici di un grafico casuale uniforme del tipo sopra?

graph-theory

— Mathias Rav
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AFAICS, il doppio grafico di qualsiasi grafico planare è collegato, quindi la tua seconda domanda è davvero se il doppio grafico è infinito? O stai parlando di una diversa nozione di doppio grafico?

— Emil Jeřábek sostiene Monica il

2

Per quanto riguarda la finezza: mentre i cicli sono in particolare assenti dall'illustrazione che ispira questa domanda, il numero previsto è infinito (per ogni

, i bordi in quadrati

formano un ciclo con probabilità

i, j

$i,j$

(2 i, 2 j), (2 i, 2 j + 1), (2 i + 1, 2 j), (2 i + 1, 2 j + 1)

$(2i,2j),(2i,2j+1),(2i+1,2j),(2i+1,2j+1)$

, indipendentemente).

1 / 16

$1/16$

— Klaus Draeger,

@ EmilJeřábek Spiacente, non intendo il doppio in senso classico - ho modificato per chiarire che intendo il complemento dell'incorporamento planare.

— Mathias Rav,

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La probabilità è 0

Ciò deriva dal seguente teorema (vedi Teorema 5.33 in Probabilità sui grafici di Grimmett, http://www.statslab.cam.ac.uk/~grg/books/USpgs-rev3.pdf ):

Teorema Considera la percolazione del legame su , dove ogni fronte tra i punti reticolari è aperto con probabilità $\mathbb Z^2$ . La probabilità che l'origine sia in un componente infinito connesso è 0. $\frac12$

Possiamo ridurre da questo problema a questo problema: in pratica sono solo 2 copie disgiunte (ma dipendenti) della percolazione del legame su . Considera la configurazione cui i bordi formano un reticolo infinito di diamanti contenenti l'origine. Se capovolgiamo tutti i bordi, otteniamo un altro reticolo infinito di diamanti . Considera l'intersezione della configurazione effettiva con e con . Ognuno di questi è esattamente il modello di percolazione del legame su , appena ruotato di $\mathbb Z^2$ $D_1$ $D_2$ $D_1$ $D_2$ $\mathbb Z^2$ . La probabilità che qualsiasi punto si trovi nel cluster infinito è quindi 0 (Nessun bordo in $45^{\circ}$ $D_1$ può essere collegato a un bordo in ). $D_2$

Per concludere, nota che la somma di un numero numerabile di eventi con probabilità 0 ha probabilità 0; sommare la probabilità che qualsiasi punto reticolare si trovi in un cluster infinito.

(L'esistenza di componenti arbitrariamente grandi è un'aringa rossa. Si dovrebbe fissare un punto e chiedere se si trova in un componente illimitato.)

— Holden Lee
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Se fissiamo l'origine e chiediamo se si trova in un componente illimitato, allora possiamo ignorare tutti i bordi in

e rimaniamo con una singola istanza di percolazione del legame su

con i bordi in

. Un'illustrazione utile è Bollobás e Riordan 2008, Figura 2 , ruotata di 45 gradi.

D_{2}

$D_2$

Z^{2}

$\mathbb{Z}^2$

D_{1}

$D_1$

— Mathias Rav,

2

Bene, ecco un primo tentativo. Osserviamo due cose importanti:

Se questo grafico ha un componente collegato infinitamente grande, secondo il lemma dell'infinito di König, ha un percorso infinito e semplice.
L'evento in cui il grafico ha un percorso infinito semplice è indipendente da ogni singola scelta dell'orientamento del bordo (e quindi da ogni insieme finito di scelte del bordo). Quindi è un evento di coda e secondo la legge zero-uno di Kolmogorov la probabilità è zero o uno.

Quindi è zero o uno? Non è immediatamente chiaro, anche se possiamo fare un'ipotesi, dal teorema delle "scimmie infinite con macchine da scrivere", questo grafico contiene percorsi semplici di lunghezza arbitrariamente grande con probabilità uno. Naturalmente, è necessario fare di più per dimostrare rigorosamente che in realtà ha un percorso infinito con una probabilità.

— Joe Bebel
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È anche una buona idea osservare 0. L'evento in cui il grafico ha una componente infinita connessa è Borel, quindi misurabile, quindi la domanda ha senso in primo luogo. (Questo non è ovvio se riformulato con infiniti percorsi semplici.)

— Emil Jeřábek sostiene Monica il

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Ecco alcune prove empiriche deboli che la risposta è sì. Sia un grafico casuale sul reticolo definito selezionando ciascuna diagonale in modo casuale. Ecco un diagramma delle stime di probabilità di raggiungibilità rispetto a $G_n$ $2n+1 \times 2n+1$ $n$ (ignorando i vertici che sono sempre irraggiungibili a causa della parità).

$[0,1]^2$

$n = 800$

Codice qui: https://gist.github.com/girving/16a0ffa1f0abb08934c2

— Geoffrey Irving
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Aggiornare: come sottolineato nei commenti, il lemma non implica percorsi infiniti, quindi questa risposta nel complesso è sbagliata. Non sono sicuro se può essere utilizzato in un altro modo probabilistico.

La risposta è sì: esiste un percorso infinito. In effetti, esiste un percorso infinito per ogni tale grafico; la probabilità non è richiesta.

$G$ $n \times n$ $n \ge 2$

$G$ sono localmente doppie, quindi un'ostruzione in una parità è una connessione nell'altra. Tuttavia, ometterò i dettagli poiché sono difficili da scrivere senza immagini e / o analisi del caso.

Se il lemma è vero, la versione infinita segue da König come notato da Joe. ( Aggiornamento: sbagliato, vedi commenti)

— Geoffrey Irving
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(- n, 0)

$(-n, 0)$

(0, n)

$(0, n)$

(0, n)

$(0, n)$

(n, 0)

$(n, 0)$

(n, 0)

$(n, 0)$

(0, - n)

$(0, -n)$

(0, - n)

$(0, -n)$

(- n, 0)

$(-n, 0)$

n > 0

$n > 0$

Davvero, Koenig non si applica dopo tutto.

— Geoffrey Irving,

2

In particolare, credo che il lemma sia ancora valido, ma ovviamente non implica il risultato desiderato.

— Geoffrey Irving,