Completezza sotto riduzioni iniettive di Karp

La riduzione del karp è una riduzione multipla calcolabile nel tempo polinomiale tra due problemi computazionali. Molte riduzioni del Karp sono in realtà funzioni one-one. Ciò solleva la questione se ogni riduzione di Karp sia iniettiva (funzione one-one).

C'è una naturale problema -Complete che è noto per essere completa solo sotto molti-one riduzione Karp e non noto per essere completo sotto riduzione iniettiva Karp? Cosa guadagniamo (e perdiamo) se definiamo la completezza di usando la riduzione iniettiva di Karp? $NP$ $NP$

Un ovvio vantaggio è che i set sparsi non possono essere completi con riduzioni iniettive di Karp.

cc.complexity-theory

— Mohammad Al-Turkistany
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Perché Karp ha usato molte riduzioni di tempo polinomiale anziché riduzioni di uno? È stato influenzato dalle riduzioni utilizzate nella teoria della calcolabilità?

— Mohammad Al-Turkistany,

Penso di aver già affrontato questa (o una domanda molto simile) in un commento su questa risposta: cstheory.stackexchange.com/a/172/129 .

— Joshua Grochow,

@JoshuaGrochow Injectivity ci dà un limite inferiore sulla densità dei set duri. Sei a conoscenza di qualsiasi problema NP-completo non noto come completo sotto le riduzioni iniettive di Karp? Ti consigliamo di pubblicare il tuo commento come risposta.

— Mohammad Al-Turkistany,

Risposte:

$|f(x)|>|x|$ $f$

$NP$ $P\neq NP$

$NP$

$NP$ $p$ $P\neq NP$
$P\neq NP$

$P\neq NP$

— Andras Farago
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L'inverso di una funzione che aumenta la lunghezza sta diminuendo la lunghezza . Oppure mi sfugge qualcosa?

— Emil Jeřábek 3.0

Inoltre, l'isomorfismo p dei problemi NP completi implica P! = NP per la banale ragione che un linguaggio a un elemento non è isomorfo a un linguaggio a due elementi, o è più sofisticato? Se si accettano linguaggi finiti, il reclamo ha una semplice prova diretta e necessita solo di iniettività: vale a dire, un linguaggio a un elemento è NP completo con riduzioni multiple se P = NP, ma non può essere NP completo in uno -una riduzione.

— Emil Jeřábek 3.0

Perché dovremmo insistere su riduzioni iniettive invece? L'iniezione non sembra essere in alcun modo collegata allo scopo delle riduzioni, quindi la scelta naturale non è quella di richiederla. Ci sono molte altre restrizioni arbitrarie che si potrebbero imporre, ma quale sarebbe il punto?

— Emil Jeřábek 3.0

Perché i set finiti non dovrebbero essere NP-completi quando P = NP? Si noti che in questa situazione, altri insiemi stupidi sono NP completi anche con riduzioni one-one, come l'insieme di tutti i numeri binari dispari.

— Emil Jeřábek 3.0,

@JoshuaGrochow Non abbiamo bisogno di ottenere una riduzione inv, li dall'inverso per occuparci della durata opposta. Se prendiamo due lingue complete NP, entrambe hanno una riduzione Karp rispetto all'altra (ma queste riduzioni non sono generalmente inverse l'una rispetto all'altra). Se ora assumiamo che qualsiasi riduzione di Karp possa essere effettuata inv, li, allora otteniamo una riduzione inv, li in entrambe le direzioni, così dal teorema citato possono essere trasformati in un isomorfismo p.

— Andras Farago,

$\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

In effetti, anche i potenziali controesempi "innaturali" alla congettura dell'isomorfismo - gli insiemi k-creativi del Teorema 2.2 di Joseph e Young - sono completi in riduzioni one-one per costruzione.

[Ripetuto dal mio commento qui :] Dato che la maggior parte delle riduzioni che costruiamo sono in realtà riduzioni una-una, perché non le studiamo quando sono formalmente più forti e le otteniamo comunque la maggior parte delle volte? Penso che sia più semplice non doversi preoccupare di provare iniettività, anche se di solito ce l'abbiamo. In tal senso, forse le riduzioni multiple sono una specie delle "riduzioni Goldilocks:" la giusta potenza, la giusta semplicità di prova.

— Joshua Grochow
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Esiste una spiegazione intuitiva della creatività impostata?

— Mohammad Al-Turkistany,

Grazie per la tua risposta Vorrei poter accettare due risposte.

— Mohammad Al-Turkistany,

In realtà, le riduzioni iniettive sono utili nella crittografia. Supponiamo di avere un sistema di prova ZK per una relazione NP R sulla lingua L. Se vuoi costruire una prova ZK per un'altra relazione NP R 'su una lingua L', devi trovare due funzioni feg con le seguenti proprietà : 1. x appartiene a L 'iff f (x) appartiene a L, 2. Se (x, w) appartiene a R' allora (f (x), g (x, w)) appartiene a R. 3. Inoltre , feg devono essere calcolabili in modo efficiente.

Le proprietà di cui sopra implicano che se il sistema di prova per R è completo e solido, il sistema di prova per R '(definito in modo ovvio usando le funzioni sopra per ridurre i casi di una relazione con l'altro) è completo e anche solido.

Che ne dite di provare che il nuovo sistema è anche ZK o testimone indistinguibile (WI)? Se f è invertibile, puoi provare che il sistema di prova così ottenuto è ZK. Altrimenti, per dimostrare che devi supporre che il sistema di prova per R sia l'ingresso ausiliario ZK (piuttosto che solo ZK). Per WI, se f è invertibile, puoi provare che il sistema di prova per R 'è WI. Senza il fatto che f è invertibile, non sono sicuro che tu possa dimostrarlo

— Vincenzo IOVINO
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