Digraph minimo equivalente rispetto a fonti e pozzi

Dato un DAG (grafo aciclico diretto) , con sorgenti e lavelli . Trova un DAG , con sorgenti e lavelli , con un numero minimo di spigoli tale che: $D$ $S$ $T$ $D'$ $S$ $T$

Per tutte le coppie esiste un percorso da a in se e solo se esiste un percorso da a in . $u \in S, v \in T$ $u$ $v$ $D$ $u$ $v$ $D'$

Un'applicazione di ciò rappresenta una famiglia impostata da un DAG. Per tale rappresentazione ogni sorgente è una variabile nell'universo e ogni sink è un insieme nella famiglia di insiemi, e un elemento u è in un insieme S se e solo se esiste un percorso dal vertice che rappresenta u al vertice che rappresenta il imposta.

Questo problema è noto? Esiste un algoritmo polinomiale per questo problema?

graph-theory graph-algorithms

— Martin Vatshelle
fonte

Immagino che la soluzione debba essere un sottografo del grafico originale, giusto? Se sì, penso che questo problema catturi Set Cover, attraverso la riduzione standard che mostra l'albero diretto di Steiner è difficile: crea un vertice per ogni elemento, un vertice per ogni set e un bordo diretto (S, u) se l'insieme S contiene l'elemento u. Quindi aggiungi un nuovo vertice e bordi da esso a tutti i vertici impostati. C'è un percorso da questo nuovo vertice a tutti i pozzi (i vertici dell'elemento). Per preservarli tutti dobbiamo selezionare il numero minimo di vertici impostati che copre tutti gli elementi.

— Michael Lampis,

No, in generale direi che non dovrebbe essere un sottografo del grafico originale. Le fonti sono elementi ed è necessario sull'elemento se e solo se un set contiene quell'elemento. I lavelli sono insiemi e non è possibile eliminare gli insiemi che si suppone rappresentino, quindi l'unica cosa che si può fare se si parte dal grafico ingenuo in cui tutti i nodi sono o affondatori o sorgenti è aggiungere vertici e spostare / eliminare i bordi.

— Martin Vatshelle,

Il problema non sembra ancora ben definito. Quali sono le restrizioni sull'insieme di vertici di

? È necessario che l'insieme di vertici di

sia uguale all'insieme di vertici di

? Che le fonti ei pozzi di

sono gli stessi le fonti e pozzi di

? Che esiste una funzione

mappa un vertice di

su un vertice di

, e la condizione è in realtà che c'è un percorso da

se c'è un percorso da

D^{'}

$D'$

D^{'}

$D'$

D

$D$

D^{'}

$D'$

D

$D$

f : V_{D} \to V_{D^{'}}

$f:V_D \to V_{D'}$

D

$D$

D^{'}

$D'$

u

$u$

v

$v$

D

$D$

? Ognuno potrebbe portare a un problema leggermente diverso. Modifica la domanda per chiarire?

f (u)

$f(u)$

f (v)

$f(v)$

D^{'}

$D'$

— DW,

Ho chiarito la domanda, anzi intendo che le fonti e i pozzi sono gli stessi. Penso che il mapping sia abbastanza vicino allo stesso, l'unico modo in cui uno potrebbe mappare due sink sullo stesso nodo è se sono raggiungibili dallo stesso set di sorgenti, ovvero rappresentano lo stesso set. L'unico modo in cui due origini potrebbero essere mappate sullo stesso nodo è se raggiungono esattamente gli stessi sink. Quindi penso che dopo una semplice preelaborazione di D i problemi sarebbero equivalenti.

— Martin Vatshelle,

Il dag D è in realtà irrilevante per il problema, non è vero? Potresti anche prendere un grafico bipartito tra S e T come input.

— Emil Jeřábek,

Supponiamo che contenga solo sorgenti e pozzi, dal momento che l'input può essere tradotto facilmente in un equivalente equivalente. $D$

Quindi, si noti che, in qualsiasi soluzione per , ciascun vertice corrisponde a una doppia nel grafico non orientato sottostante di (la doppia tra tutte le fonti che raggiungono in e tutti i pozzi che sono raggiunti da $D'$ $D$ $v$ $G$ $D$ $v$ $D'$ $v$ in ). $D'$

Ipotizzo che, se è ottimale, quindi contiene un vertice taglio che 1: 1 corrisponde a un biclique ottimale di copertura di . Quindi, ogni minimo taglio di vertice in $D'$ $G$ corrisponde a un biclique ottimale rivestimento in . Tuttavia, poiché BICLIQUE COVER (aka BIPARTITE DIMENSION) è NP-completo, è improbabile che il tuo problema ammetta un algoritmo polinomiale a meno che la mia congettura non fallisca. $D'$ $G$

Nota che, anche se la mia congettura è valida, tecnicamente questo argomento non dimostra la durezza NP del tuo problema, poiché la riduzione non è una riduzione di Karp, ma una di Cook.

— Igel
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