Generalizzare il "trucco mediano" a dimensioni superiori?

Per gli algoritmi randomizzati assumono valori reali, il "trucco mediano" è un modo semplice per ridurre la probabilità di fallimento a qualsiasi soglia , al costo di solo una moltiplicativa overhead. Vale a dire, se l' output di cade in un "buon intervallo" con probabilità (almeno) , quindi eseguendo copie indipendenti e prendendo la mediana delle loro uscite si tradurrà in un valore che cade in con probabilità almeno dei limiti di Chernoff / Hoeffding. δ > 0 t = O ( registro $\mathcal{A}$$\delta > 0$AI=[a,b]2/3A1,...,Atun1,...,unatI1-$t=O(\log\frac{1}{\delta})$$\mathcal{A}$$I=[a,b]$$2/3$$\mathcal{A}_1,\dots,\mathcal{A}_t$$a_1,\dots,a_t$$I$$1-\delta$

Esiste una generalizzazione di questo "trucco" a dimensioni più elevate, diciamo , dove la buona gamma è ora un insieme convesso (o una palla, o qualsiasi insieme sufficientemente bello e strutturato)? Cioè, dato un algoritmo randomizzato fornisce valori in e un "buon set" tale che per tutti , come si può aumentare la probabilità di successo a con solo un costo logaritmico in ?A R S S⊆ R d P r { A (x,r)∈S}≥2 / 3x1-δ1 /$\mathbb{R}^d$$\mathcal{A}$$\mathbb{R}^d$$S\subseteq \mathbb{R}^d$$\mathbb{P}_r\{ \mathcal{A}(x,r) \in S \} \geq 2/3$$x$$1-\delta$$1/\delta$

(Frase diversa: dato fisso, arbirary con la garanzia che almeno di appartiene a , esiste una procedura in uscita un valore da ? In tal caso, ce n'è uno efficiente?)2 $a_1,\dots, a_t\in \mathbb{R}^d$ aiS$\frac{2t}{3}$$a_i$$S$$S$

E qual è l'insieme minimo di presupposti di cui abbiamo bisogno su per ottenere quanto sopra?$S$

Scusami se questo risulta essere banale - Non sono riuscito a trovare un riferimento su questa domanda ...

Quello che stai cercando è quasi lo stesso una forte tendenza centrale : un modo per ridurre una nuvola di dati punta a un singolo punto, in modo tale che se molti dei punti dati sono vicini ad una "verità fondamentale", ma il resto di loro sono arbitrariamente lontani, quindi anche il tuo output sarà vicino alla verità fondamentale. Il "punto di rottura" di tale metodo è la frazione di valori erroneamente arbitrari che può tollerare. La differenza è che nel tuo caso vuoi sostituire "vicino a" con "all'interno dello scafo convesso di".

Un modo per catturare questo è con la nozione di profondità di Tukey. Un punto ha la profondità di Tukey (rispetto a una data serie di punti dati) se ogni semispazio contenente il punto dato contiene anche almeno punti dati . Se è presente un buon sottospazio convesso in cui si desidera trovarsi all'interno, un punto con profondità Tukey rimarrà all'interno fino a quando vi saranno almeno dei punti dati al suo interno. Quindi il punto di rottura di questo metodo è il valore più grande di che puoi ottenere.n p n p ( 1 - p ) n $p$$n$$pn$$p$$(1-p)n$$p$

Purtroppo questo punto di rottura è , non vicino a 1/2, sia per la profondità di Tukey che per il tuo problema. Ecco perché: se i tuoi dati sono raggruppati vicino ai vertici di un simplex, allora fintanto che meno di di loro sono valori anomali (ma non sai quali) quindi qualsiasi punto in il simplex è sicuro da scegliere poiché sarà sempre all'interno dello scafo convesso dei non anomali. Ma se più di dei punti possono essere anomali, non c'è nessun posto sicuro da scegliere: qualunque punto del simplex si scelga, gli outlier potrebbero essere tutti i punti dal vertice simplex più vicino, e saresti fuori dallo scafo dei non-outlier.d + 1 1 / ( d + 1 ) 1 / ( d + 1 $1/(d+1)$$d+1$$1/(d+1)$$1/(d+1)$

Se sei disposto a tollerare un punto di rottura peggiore, più simile a , esiste un metodo randomizzato per trovare un punto profondo che è polinomiale sia in che in : vedi il mio documenton $O(1/d^2)$$n$$d$

Punti centrali approssimativi con punti radon ripetuti, K. Clarkson, D. Eppstein, GL Miller, C. Sturtivant e S.-H. Teng, 9 ° ACM Symp. Comp. Geom. , San Diego, 1993, pagg. 91–98, int. J. Comp. Geom. & Appl. 6 (3): 357–377, 1996, http://kenclarkson.org/center/p.pdf

Questa è una domanda chiara e ci ho pensato prima. Ecco cosa ci è venuto in mente:

Si esegue l'algoritmo volte per ottenere le uscite x 1 , ⋯ , x n ∈ R d e sapete quello che con elevata probabilità una grande frazione di x i caduta s in qualche buon set G . Non sai cos'è G , solo che è convesso. La buona notizia è che esiste un modo per ottenere un punto in G senza ulteriori informazioni al riguardo. Chiama questo punto f ( x 1 , ⋯ , x n ) .$n$$x_1, \cdots, x_n \in \mathbb{R}^d$$x_i$$G$$G$$G$$f(x_1, \cdots, x_n)$

Teorema. Per tutti i numeri naturali e d , esiste una funzione f : ( R d ) n → R d tale che vale quanto segue. Lascia x 1 . . . x n ∈ R d e lasciate G ⊂ R d un insieme convesso soddisfacente $n$$d$$f : (\mathbb{R}^d)^n \to \mathbb{R}^d$$x_1 ... x_n \in \mathbb{R}^d$$G \subset \mathbb{R}^d$Quindif(x1,...,Xn)∈G. Inoltre,fè calcolabile nel tempo polinomiale innd. $$\frac{1}{n}\left|\left\{ i \in [n] : x_i \in G \right\}\right| > \frac{d}{d+1}.$$ $f(x_1, ..., x_n) \in G$$f$$n^d$

Nota che, per , possiamo impostare f come mediana. Quindi questo mostra come generalizzare la mediana per d > 1 .$d=1$$f$$d>1$

Prima di provare questo risultato, nota che è stretto: Sia e sia x 1 , ⋯ , x d gli elementi base standard e x d + 1 = 0 . Qualsiasi sottoinsieme di d dei punti è contenuto in uno spazio affine G di dimensione d - 1 (che è definito in modo univoco da quei punti). Ma nessun punto è contenuto in tutti quegli spazi affini. Quindi c'è qualche G convesso che contiene n ⋅ d / ( d $n=d+1$$x_1, \cdots, x_d$$x_{d+1}=0$$d$$G$$d-1$$G$ punti ma non contiene f ( x 1 , ⋯ , x n ) , qualunque sia il valore che assume.$n\cdot d/(d+1)=d$$f(x_1, \cdots, x_n)$

Prova. Usiamo il seguente risultato.

Teorema di Helly. Lascia essere sottoinsiemi convessi di R d . Supponiamo che l'intersezione di qualsiasi d + 1 K i sia non vuota. Quindi l'intersezione di tutti i K è non vuota.$K_1 ... K_m$$\mathbb{R}^d$$d+1$ $K_i$$K_i$

Fai clic qui per una prova del teorema di Helly.

Ora per dimostrare il nostro teorema:

Lasciare è un limite superiore al numero di punti non in G . Considera tutti i semispazi chiusi K 1 . . . K m ⊂ R d contenente almeno n - k punti con il loro limite contenente un insieme di punti di rango massimo (questo è un numero finito di semispazi come ogni K i è definito da d + 1 punti sul suo confine).$k<n/(d+1)$$G$$K_1 ... K_m \subset \mathbb{R}^d$$n-k$$K_i$$d+1$

Il complemento di ogni contiene al massimo k punti. Di un limite di unione, l'intersezione qualsiasi d + 1 K i s contiene almeno n - k ( d + 1 ) > 0 punti. Per il teorema di Helly (dal semispazi sono convessi), v'è un punto nell'intersezione di tutti i K i s . Lasciamo che f sia una funzione che calcola un punto arbitrario nell'intersezione di K i .$K_i$$k$$d+1$ $K_i$$n-k(d+1)$$K_is$$f$$K_i$

Tutti i residui che è di mostrare che l'intersezione del s è contenuto in G .$K_i$$G$

Senza perdita di generalità, è lo scafo convesso di un sottoinsieme dei punti a pieno titolo. Cioè, possiamo sostituire G con lo scafo convesso dei punti che contiene. Se questo non ha un rango completo, possiamo semplicemente applicare il nostro teorema nella dimensione inferiore.$G$$G$

Ogni faccia di definisce un semispazio, dove G è l'intersezione di questi semispazi. Ognuno di questi semispazi contiene G e quindi contiene almeno n - k punti. Il confine di uno di questi semispazi contiene una faccia di G e quindi contiene una serie di punti di rango massimo. Quindi ciascuno di questi semispazi è una K i . Pertanto l'intersezione di tutti i K è contenuta in G , come richiesto.$G$$G$$G$$n-k$$G$$K_i$$K_i$$G$

Per calcolare , impostare un programma lineare in cui i vincoli lineari corrispondono a K i e una soluzione fattibile corrisponde a un punto nell'intersezione di tutti i K i . QED$f$$K_i$$K_i$

Sfortunatamente, questo risultato non è molto pratico nel contesto ad alta dimensione. Una buona domanda è se possiamo calcolare più efficiente:$f$

Apri problema. Dimostrare il teorema sopra con la conclusione aggiuntiva che può essere calcolato nel polinomio temporale in n e d . $f$$n$$d$

A parte: possiamo anche cambiare il problema per ottenere una soluzione efficiente: se hanno la proprietà che rigorosamente più della metà si trova in una palla B ( y , ε ) , allora possiamo trovare un punto z che sta in B ( y , 3 ε ) nel tempo polinomiale in n e d . In particolare, possiamo impostare z = x i per un i arbitrario tale che rigorosamente più della metà dei punti sono in $x_1, \cdots, x_n$$B(y,\varepsilon)$$z$$B(y,3\varepsilon)$$n$$d$$z=x_i$$i$ .$B(z,2\varepsilon)$

C'è una nozione della mediana di un insieme di punti in dimensioni elevate e norme generali che è noto sotto vari nomi. È solo il punto che minimizza la somma delle distanze da tutti i punti dell'insieme. È noto per avere una proprietà di amplificazione della confidenza simile alla solita mediana con un piccolo aumento moltiplicativo della distanza. Puoi trovare i dettagli nel Teorema 3.1 di questo documento: http://arxiv.org/pdf/1308.1334.pdf

Una cosa bella che questo documento mostra è che il fattore con cui la distanza aumenta può essere reso qualsiasi costante> 1 se puoi amplificare da una fiducia arbitrariamente alta (ma costante <1).

Modifica: c'è un altro recente articolo sull'argomento di Hsu e Sabato http://arxiv.org/pdf/1307.1827v6.pdf Analizza principalmente e applica la procedura in cui il punto nel set con la minima distanza mediana dal resto dei punti viene utilizzato. Questa procedura può essere utilizzata con qualsiasi metrica ma fornisce solo un fattore di approssimazione di 3.