Riduzione multipla più lenta?

Quando si vuole dimostrare che un è Completa, allora l'approccio standard è di esporre un tempo polinomiale computabile riduzione molti-uno di una nota problema -complete a . In questo contesto non abbiamo bisogno di un limite stretto al tempo di esecuzione della riduzione. È sufficiente avere un limite polinomiale, che può eventualmente avere un grado molto alto. $L\in \bf NP$ $\bf NP$ $\bf NP$ $L$

Tuttavia, per problemi naturali, il limite è tipicamente un polinomio di basso grado (definiamo basso come qualcosa nelle singole cifre). Non sostengo che questo debba essere sempre il caso, ma non sono a conoscenza di un controesempio.

Domanda: esiste un controesempio? Si tratterebbe di una riduzione moltiplicabile calcolabile nel tempo polifunzionale tra due problemi naturali di completi, in modo tale che non si conosca alcuna riduzione più rapida per lo stesso caso e che il limite di tempo di esecuzione polinomiale più noto sia un polinomio di alto grado . $NP$

Nota: Occasionalmente sono necessari esponenti grandi o addirittura enormi per problemi naturali in , vedere algoritmi a tempo polinomiale con esponente / costante enormi . Mi chiedo se lo stesso accada anche nelle riduzioni tra problemi naturali? $P$

cc.complexity-theory reductions np-complete

— Andras Farago
fonte

Questo documento è probabilmente pertinente. La completezza NP con riduzioni molto limitate (ad es. AC0 o spazio di log) è interessante, perché la maggior parte delle riduzioni sono intuitivamente "basate su gadget", che deriva dal fatto che il calcolo è un fenomeno locale

— Joe Bebel,

Noi di solito fare con riduzioni che trasformano un'istanza di SAT (o un semplice problema NPC) a un'istanza di

. Ma pensare al contrario

(cioè, nel mondo reale, provare a risolvere un problema usando un solutore SAT) porta a riduzioni dei tempi polinomiali con esponenti imbarazzanti :-). Ad esempio, una classe abbastanza naturale di problemi che conosco, deriva dai giochi completi di PSPACE, quando si aggiungono alcuni vincoli (tempo, numero di mosse, visite limitate ai luoghi, ...) che li fanno cadere in NP, e quindi prova a risolverli con un solutore SAT, ovvero trova una riduzione efficiente a SAT.

L

$L$

L \leq_{p} S A T

$L \leq_p SAT$

— Marzio De Biasi,

Ricordo che avevamo una domanda correlata sui problemi NP naturali che richiedono certificati di grandi dimensioni (cioè limiti inferiori di complessità di prova elevata) ma non sono riuscito a trovarlo.

— Kaveh,

@Kaveh: uno è mio: " Problemi naturali NP completi con" grandi "testimoni " :-)

— Marzio De Biasi

Secondo i teoremi della gerarchia ci sono problemi in NP con limiti inferiori di tempo non deterministici che sono polinomi di grado arbitrariamente grande. Raccogliere qualche problema che richiede almeno

passaggi non deterministiche, per

. Supponiamo che esista una riduzione di molti da questo problema a SAT che utilizza al massimo

tempo. Quindi l'istanza SAT non può essere più grande di

bit. Questo può quindi essere deciso usando al massimo

passaggi non deterministici. Quindi

n^{d}

$n^d$

d \geq 20

$d \ge 20$

n^{c}

$n^c$

n^{c}

$n^c$

n^{2 c}

$n^{2c}$

c \geq d / 2 \geq 10

$c \ge d/2 \ge 10$ . Se vuoi che anche il problema sia naturale, allora essenzialmente stai chiedendo problemi naturali non in NTIME (

n^{d}

$n^d$

— András Salamon,

Allender suggerisce che la risposta è no:

Sembra che non ci siano coppie di problemi naturali completi di NP A e B noti, dove una riduzione da A a B è nota per richiedere più del tempo lineare (anche presupponendo che P NP) $\ne$

Riferimento:

E. Allender e M. Koucký, Amplificazione dei limiti inferiori mediante auto-riducibilità . Diario dell'ACM 57, 3, articolo 14 (marzo 2010).

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

Potresti fornire un link al documento in cui Allender scrive questo o un riferimento?

— Andras Farago,

@AndrasFarago Il link è fornito. Fai clic su Allender :).

— Mohammad Al-Turkistany,

Scusa, ho perso il link. Dopo aver esaminato il documento, ho trovato un'altra affermazione piuttosto interessante: "nessun problema naturale NP completo è noto al di fuori di NTIME (n)". (È nella frase che precede immediatamente la parte citata.)

— Andras Farago,

Suggerisco una leggera discrezione nell'interpretazione di queste affermazioni. Ci sono alcuni casi in cui è nota solo una riduzione quadratica. Ad esempio, una riduzione a una versione planare di un problema NP completo può utilizzare un numero quadratico di gadget crossover. I limiti inferiori sono difficili e molte cose "non sono note per essere richieste".

— Joe Bebel,

@JoeBebel Sono d'accordo che è necessaria discrezione nell'interpretazione di queste dichiarazioni. Ad esempio, nell'affermazione che "non è noto che nessun problema naturale NP completo si trovi al di fuori di NTIME (n)", gli autori probabilmente avevano in mente un'interpretazione più ristretta di "naturale". Forse significano qualcosa del genere: un problema naturale è quello che le persone potrebbero davvero voler risolvere sulla base di motivazioni pratiche.

— Andras Farago,