Multigrafi diretti come automi minimi

Data una normale lingua sull'alfabeto A , il suo automa deterministico minimo può essere visto come una multigrafia connessa diretta con costante grado di out | A | e uno stato iniziale marcato (dimenticando le etichette delle transizioni, gli stati finali). Manteniamo lo stato iniziale perché ogni vertice deve essere accessibile da esso.$L$$A$$|A|$

Il contrario è vero? Vale a dire una multigrafia collegata diretta con out- grade costante e stato iniziale tale che ogni vertice sia accessibile da essa, c'è sempre una lingua L tale che G è il grafico sottostante dell'automa minimo di L ?$G$$L$$G$$L$

Ad esempio se è vero, poiché il grafico deve essere un "lazo" con un prefisso di dimensione i e un anello di dimensione j , e corrisponde all'automa minimo di L = { a i + n j | n ∈ N } .$|A|=1$$i$$j$$L=\{a^{i+nj}~|~n\in\mathbb N\}$

La motivazione deriva da un problema correlato riscontrato in una riduzione della decidibilità, in cui la soluzione è più semplice: a partire da un grafico semplice non orientato e con più operazioni consentite come l'aggiunta di lavelli. Ma mi chiedevo se qualcuno avesse già esaminato questa domanda più naturale?

Le uniche cose connesse in remoto che ho potuto trovare in letteratura sono documenti come Complexity of Road Coloring con Prescribed Reset Words , in cui l'obiettivo è colorare una tale multigrafia in modo che l'automa risultante abbia una parola di sincronizzazione. Tuttavia la minimalità non sembra essere considerata.

Aggiornamento : domanda di follow-up dopo la risposta di Klaus Draeger: qual è la complessità nel decidere se un grafico ha questa forma? Possiamo indovinare l'etichettatura e verificare polinomialmente la minimalità dell'automa, quindi è in NP, ma possiamo aggiungere altro?

$n$$n$

$H$$n(H)$$n(H)$$H$

EDIT, per quanto riguarda la domanda di follow-up: sembra complicato. Un approccio suggerito dal mio argomento potrebbe assomigliare a questo:

• $G$$O(|V|+|E|)$
• $P$
• $\{a,b\}$$a$$b$
• Trattare gli SCC rimanenti nel DAG in modo simile, tenendo conto di quelli inferiori; Sono un po 'confuso sui dettagli di questa parte.

Questo è un passo la cui complessità è notoriamente aperta, e un altro che sembra richiedere tempo esponenziale (dal momento che possono esserci esponenzialmente molte partizioni in classi di bisimilarità da escludere quando si determinano gli automi consentiti). Possiamo fare di meglio?