È

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Sappiamo che il primo livello della gerarchia polinomiale (cioè NP e co-NP) è in PP, e che $PP \subseteq PSPACE$ . Sappiamo anche da di Toda teorema che $PH \subseteq P^{PP}$ .

$PH \subseteq PP$ $P$ $PP$ $PP$ $PH \nsubseteq PP$ $PP \nsubseteq PH$

Questa domanda è molto semplice, ma non ho trovato alcuna risorsa per affrontarla.

Ho fatto questa domanda correlata ma molto meno specifica sull'overflow della matematica prima di saperne di più sull'argomento.

Qui è un po 'correlato (ma diversa) domanda: Is ? $coNP^{\#P}=NP^{\#P}=P^{\#P}$

Aggiornamento: dai un'occhiata alla domanda di Noam Nisan qui: Maggiori informazioni su PH in PP?

cc.complexity-theory counting-complexity polynomial-hierarchy

— Huck Bennett
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Huck, come hanno sottolineato Lance e Robin, abbiamo oracoli rispetto ai quali PH non è in PP. Ma questo non risponde alla tua domanda, qual era la situazione nel mondo "reale" (non correlato)!

La risposta breve è che (come con tanto altro nella teoria della complessità) non lo sappiamo.

Ma la risposta più lunga è che ci sono ottime ragioni per congetturare che effettivamente PH ⊆ PP.

In primo luogo, il teorema di Toda implica PH ⊆ BP.PP, dove BP.PP è la classe di complessità che "sta a PP come BPP è a P" (in altre parole, PP dove puoi usare una randomizzazione per decidere quale calcolo di MAJORITY vuoi eseguire). In secondo luogo, sotto ipotesi di derandomizzazione plausibili (simili a quelle che sono note per implicare P = BPP, di Nisan-Wigderson, Impagliazzo-Wigderson, ecc.), Avremmo PP = BP.PP.

Addendum, per rispondere ad altre tue domande:

(1) Direi che non abbiamo un'intuizione convincente in entrambi i casi sulla questione se PP = P ^PP . Sappiamo, dai risultati di Beigel-Reingold-Spielman e Fortnow-Reingold, che la PP è chiusa con riduzioni non adattive (tabella di verità). In altre parole, una macchina P in grado di eseguire query parallele a un oracolo PP non è più potente della stessa PP. Ma il fatto che questi risultati si interrompano completamente per richieste adattive (non parallele) all'oracolo di PP suggerisce che forse questi ultimi sono davvero più potenti.

(2) Allo stesso modo, NP ^PP e coNP ^PP potrebbero essere ancora più potenti di P ^PP . E PP ^PP potrebbe essere ancora più potente, e così via. La sequenza P, PP, P ^PP , PP ^PP , P ^{PP ^ PP} , ecc. È chiamata gerarchia di conteggio , e proprio come la gente congettura che PH sia infinito, così anche uno può congetturare (anche se forse con meno fiducia!) Che CH è infinito. Ciò è strettamente correlato alla convinzione che, nei circuiti a soglia a profondità costante (ovvero reti neurali), l'aggiunta di più strati di gate di soglia offre una maggiore potenza computazionale.

— Scott Aaronson
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Scott, sono un po 'confuso dall'affermazione che "plausibilmente" PP conterrà PH. La prima separazione di PH da PP attraverso gli oracoli ha nel suo nucleo combinatorio la separazione originale di Minski & Papert secondo cui un AND-of-OR non può essere simulato da un gate di soglia poliglogico. Penso che la versione non uniforme di Toda stia simulando AC0 mediante una distribuzione di probabilità su gate di soglia di grado poliglogico che ottiene la risposta corretta whp. Quindi a livello non uniforme la porta "BP" aggiunge una potenza significativa, a differenza di P vs BPP o NP vs AM non uniformi. Quindi ad esempio PH in PP con un oracolo casuale?

— Noam,

Noam, la PP con un oracolo casuale non contiene BP.PP? (Non vedo perché non dovrebbe.) Se è così, allora sicuramente PH è in PP con oracolo casuale. Ma vorrei fare un'altra domanda: esiste qualche classe di complessità C per la quale abbiamo buone ragioni per credere che C non sia uguale a BP.C?

— Scott Aaronson,

Avresti bisogno di un'amplificazione per mostrare che PP = BP.PP con un oracolo casuale - non vedo come farlo. Anche in modo non uniforme, non riesco a vedere che PH è in PP / poli. Gli AND-of-OR che non si trovano nella soglia del polilogo-grado sembrano suggerire che anche il PH non uniformemente non è in PP?

— Noam,

Ecco un documento che mostra BP.PP = PP secondo un'ipotesi plausibile: www.cs.uwyo.edu/~jhitchco/papers/hhdcc.ps

— Scott Aaronson

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Quello che mi mancava era che Fortnow e Reingold mostrarono che PP era chiuso con riduzioni veritiere, una chiusura necessaria per la derandomizzazione usando un PRG (o in modo non uniforme o con un oracolo casuale). Tuttavia, sono ancora perplesso qui e ho formulato una domanda al riguardo: cstheory.stackexchange.com/questions/3331/more-on-ph-in-pp

— Noam,

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Richard Beigel ha un oracolo rispetto al quale non è contenuto in PP. $P^{NP}$

— Lance Fortnow
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$P^{NP}$

[Ver] NK Vereshchagin. Sulla potenza del PP , Atti della complessità IEEE'92, pagg. 138-143, 1992.

— Robin Kothari
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Qualcosa che non è stato menzionato finora (per quanto posso vedere) e che si mantiene nel mondo non relativizzato è il seguente:

P H \subseteq P P if Q M A = P P .

$PH \subseteq PP \quad\mbox{ if }\quad QMA = PP.$

Ciò è stato osservato da Vyalyi in questo documento e deriva dal rafforzamento di due teoremi:

$\sharp P$ $P$ $PH$
$QMA \subseteq PP$ $QMA$ $A_0PP$ $PP$

— Alessandro Cosentino
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