Per quali problemi in P è più facile verificare il risultato che trovarlo?

Per (versioni di ricerca) di problemi NP completi, verificare una soluzione è chiaramente più facile che trovarla, poiché la verifica può essere effettuata in tempo polinomiale, mentre la ricerca di un testimone richiede (probabilmente) tempo esponenziale.

In P , tuttavia, la soluzione può essere trovata anche in tempi polinomiali, quindi non sembra ovvio quando la verifica è più veloce della ricerca della soluzione. In effetti, diversi problemi sembrano comportarsi diversamente da questo punto di vista. Qualche esempio:

1. 3SUM: dati numeri di input, trova 3 tra loro che sommano a 0. Per quanto ne so, l'algoritmo più veloce conosciuto viene eseguito nel tempo e questo ordine è ipotizzato ottimale. D'altra parte, la verifica di una soluzione è molto più veloce, poiché tutto ciò che dobbiamo fare è solo verificare che i 3 numeri trovati siano effettivamente pari a 0.$n$$O(n^{2-o(1)})$

2. Percorsi più brevi per tutte le coppie: dato un grafico con i pesi dei bordi, calcola la matrice della distanza del percorso più breve. Una volta che una tale matrice è stata data, si può verificare più velocemente che sia effettivamente la matrice della distanza corretta, piuttosto che ripeterla? La mia ipotesi è che la risposta sia forse sì, ma è certamente meno ovvia rispetto a 3SUM.

3. Programmazione lineare. Se viene fornita una soluzione ottimale rivendicata, verificarla è più semplice che ripeterla, quando vengono fornite anche informazioni ausiliarie (una soluzione doppia ottimale). D'altra parte, se è disponibile solo la soluzione primaria, non è chiaro se si può controllare più velocemente, piuttosto che risolvere effettivamente l'LP.

Domanda: cosa si sa su questo argomento? Cioè, quando è più facile verificare una soluzione per un problema in P , che trovare la soluzione?

è noto che, dato un grafico G e un albero T, si può verificare in tempo lineare che T è un albero di spanning minimo di G. Ma non abbiamo ancora un algoritmo di tempo lineare deterministico per calcolare l'MST. Ovviamente il divario è minuscolo (1 vs ), ma è ancora lì :))$\alpha(n)$

Questo documento mostra che ci sono algoritmi di verifica per entrambe le istanze SÌ e NO per 3 problemi, tra cui Flusso massimo, 3SUM e APSP, che sono più veloci di un fattore polinomiale rispetto ai limiti noti per il calcolo della soluzione stessa.

Esiste una classe di problemi, vale a dire quelli che migliorano il tempo di esecuzione è SETH-hard, il cui tempo di esecuzione per la verifica di NO istanze è improbabile che sia significativamente più veloce del tempo per calcolare la soluzione, altrimenti la congettura di questo documento chiamata Non deterministica L'ipotesi del tempo esponenziale forte fallirebbe.

Per alcuni problemi non sembra esserci alcuna differenza. In particolare, Vassilevska Williams & Williams mostrano:

• per la moltiplicazione della matrice booleana, calcolare il prodotto della matrice e verificare l'equivalente subcubico del prodotto della matrice, nel senso che entrambi hanno algoritmi del tempo subcubico o nessuno dei due.

• Lo stesso vale per il calcolo e la verifica del prodotto matrice su qualsiasi "struttura estesa (min, +)" (vedere la carta per la definizione, ma ciò include molti problemi naturali).

(Ora, ovviamente, è possibile che tutti questi problemi abbiano algoritmi subcubici, e quindi potrebbe esserci una differenza polinomiale tra elaborazione e verifica, ma per questi problemi non può esserci una differenza cubica. E mi sembra plausibile che in infatti richiedono tutti un tempo essenzialmente cubico.)

• Decidere se esiste un valore in un array richiede tempo (o se l'array viene ordinato).Ω ( registro n $\Omega(n)$$\Omega(\log n)$

  La verifica che un array contenga il valore dato in una data posizione è possibile nel tempo .$O(1)$

• L'ordinamento (nel modello di confronto) richiede time , ma è possibile verificare che un array o un elenco sia ordinato nel tempo .O ( n $\Omega(n \log n)$$O(n)$

Penso che molti esempi provengano da problemi NP completi che ricadono in P quando fissiamo uno o più parametri .

$k$$k$$k$

$k$$P=NP$$k$$\Omega(n^k) )$

Altri esempi: trovare un percorso di lunghezza hamiltoniano $k$

$\tilde{O}(n^6)$$\tilde{O}(n^3)$

$O(n^{2-\epsilon})$ meno che l'ipotesi del forte tempo esponenziale sia falsa. Naturalmente, possiamo verificare un isomorfismo in tempo lineare.

$\sf{P}$$\Omega(n^{1-\epsilon})$ spazio tra la ricerca e la verifica.

$O(n^2/\log n)$