Numero di tagli di un grafico senza usare l'algoritmo di Karger

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Sappiamo che l'algoritmo di taglio di Karger può essere usato per dimostrare (in modo non costruttivo) che il numero massimo di possibili tagli che un grafico può avere è $n \choose 2$ .

Mi chiedevo se potessimo in qualche modo provare questa identità dando una prova biiettiva (piuttosto iniettiva) dall'insieme di tagli ad un altro insieme di cardinalità $n \choose 2$ . Nessun motivo specifico, è solo una curiosità. Ho provato a farlo da solo, ma finora non ho avuto alcun successo. Non vorrei che nessuno sprecasse tempo su questo e quindi se la domanda sembra inutile chiederei ai moderatori di agire di conseguenza.

Best-Akash

— Akash Kumar
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Kumar, una cricca

n

$n$ -vertex ha

n

$n$ minut, che separa ciascun vertice dal resto del grafico, quindi il numero di mincut può essere inferiore a

(\binom{n}{2})

$n\choose 2$ .

— Marcus Ritt,

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Questa è una nota molto accessibile sulla dimostrazione combinatoria. cs.elte.hu/egres/qp/egresqp-09-03.ps

— Chao Xu

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Il penso sia stato originariamente dimostrato da Dinitz, Karzanov e Lomonosov nel 1976, in "Una struttura per il sistema di tutti i tagli minimi di un grafico". Forse puoi trovare quello che stai cercando in questo documento, ma non sono sicuro che sia online. $\binom{n}{2}$

— Jelani Nelson
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Grazie jelani .... ho provato a cercare il documento online. Nessuna fortuna finora. Penso che proverò la biblioteca del mio college. Nel frattempo, se trovi il tempo (e sei pronto) potresti provare ad evidenziare alcune delle idee chiave del documento? Sarebbe bello se tu potessi. Grazie ancora!

— Akash Kumar,

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Scusa, non so come funziona la loro prova. : / Apparentemente potrebbe esserci stata una prova precedente che implicava un lavoro di Robert Bixby. Probabilmente sarai in grado di scoprire più di quanto io sappia tramite alcuni googling (o forse qualcuno che ne sa di più può fornire una risposta migliore qui). Sono curioso di sentire da solo la risposta ... Ricordo che una volta mi ero interrogato su questa stessa domanda quando ho appreso per la prima volta l'algoritmo di Karger.

— Jelani Nelson,

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Informalmente, si può sostenere che per avere il numero massimo di min-cut, tutti i nodi in un grafico devono avere lo stesso grado.

Lascia che un taglio divida un grafico in due serie di nodi e tale che . Lascia che il numero di tagli min in un grafico sia indicato come . $G$ $C$ $\bar C$ $C \cap \bar C=\emptyset$ $mc(G)$

Considera un grafico collegato con vertici in cui ogni vertice ha grado due. Questo deve essere il grafico del ciclo e il taglio minimo è di due bordi. È ovvio che il taglio di due bordi qualsiasi comporterà un taglio e che tale taglio sia un taglio minimo. Poiché ci sono coppie distinte di bordi, ci sono tagli minimi. $n$ $n(n-1)/2$ $n(n-1)/2$

Crea un nuovo grafico rimuovendo un bordo dal grafico del ciclo. Il taglio minimo del nuovo grafico è un bordo e sarà sufficiente tagliare qualsiasi bordo: ci sono questi tagli che possono essere fatti. $n-1$

Crea un nuovo grafico aggiungendo un bordo al grafico del ciclo. Ora due nodi hanno grado tre e nodi hanno grado due. Il grado tre nodi devono entrambi appartengono a o entrambi appartengono a . Si noti che nel caso del grafico ciclo, nessun nodo sono stati limitati ad apparire insieme in o . L'implicazione è che l'aggiunta di un bordo aggiunge un vincolo, che riduce il numero di tagli minimi. $n-2$ $C$ $\bar C$ $C$ $\bar C$

La promozione di più nodi al terzo livello aggiunge ulteriori vincoli fino al punto in cui esiste solo un taglio minimo di secondo grado.

Quanto sopra mostra che il grafico del ciclo è (almeno) un massimo locale di . $mc$

Considera l'insieme di grafici in cui ogni nodo è di grado tre. La rimozione di un bordo produce un grafico con un singolo taglio minimo di due. L'aggiunta di un bordo, come sopra, produce due nodi che appaiono per lo più sullo stesso lato del taglio.

Ciò suggerisce che i grafici in cui ogni nodo è di grado sono massimi locali di . Notare che il grafico completo ha tagli di dimensione suggerisce che questa è una funzione in declino. $k$ $mc$ $mc=n$ $n-1$

Non ho pensato troppo alla possibilità di formalizzare quanto sopra, ma rappresenta un possibile approccio.

Inoltre, penso che il documento di Bixby che Jelani Nelson menziona nel commento alla sua risposta sia intitolato "Il numero minimo di bordi e vertici in un grafico con connettività Edge n e M n-bond" ( link )

— Richard
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