Generalizzare l'algoritmo di minimizzazione DFA di Brzozowski per automi finiti con diverse classi di stati accettanti?

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L'algoritmo di Brzozowski per convertire un DFA in un DFA a stato minimo equivalente è straordinariamente semplice: se indica l'NFA formato invertendo tutti i bordi di un DFA , rendendo il vecchio stato iniziale uno stato accettante e rendendo il vecchio accettante stati iniziano stati, e se indica il risultato dell'applicazione della costruzione sottoinsieme di NFA , allora è un minimo stato DFA con la stessa lingua . $R(D)$ $D$ $P(N)$ $N$

P (R (P (R (D))))

$P(R(P(R(D))))$

D

$D$

Possiamo pensare a un DFA come a un dispositivo computazionale che accetta una stringa di input e quindi genera 0 se termina in uno stato di rifiuto e 1 se termina in uno stato di accettazione. Una generalizzazione naturale dei DFA associava ogni stato del DFA a un numero naturale compreso tra 0 e , incluso. $w$ $w$ $w$ $k-1$

Per quanto ne so, è possibile ridurre al minimo queste classi modificate di DFA utilizzando un algoritmo di minimizzazione basato sulla distinguibilità, come quello canonico di Hopcroft. Tuttavia, non riesco a vedere come sarebbe possibile adattare l'algoritmo di minimizzazione di Brzozowski a questa nuova classe di automi perché il passaggio chiave (invertire l'automa) non ha più una chiara interpretazione in questa impostazione generalizzata.

Esiste una generalizzazione nota dell'algoritmo di Brzozowski per ridurre al minimo questo tipo di automi? Altrimenti, ci sono ragioni teoriche per cui ci aspetteremmo che un algoritmo così modificato non esistesse?

automata-theory minimization

— templatetypedef
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la "generalizzazione" non sembra essere definita chiaramente. che cos'è

? si tratta solo di associare ogni stato in un DFA con un valore intero limitato? allora cosa? che cos'è un esempio? chi lavora con questo? ecc.

k

$k$

— vzn,

{0, 1, 2, 3, . . ., k - 1}

$\{0, 1, 2, 3, ..., k-1\}$

ok, questo non è affatto comunicato nel post, "il DFA genera il # associato allo stato in cui finisce la stringa", suggerisco di risolverlo. inoltre, i DFA tecnicamente non hanno "output". forse intendi trasduttore FSM? esiste in effetti una teoria parziale associata alla minimizzazione del trasduttore FSM che apparentemente non è ("ancora"?) totalmente legata alla minimizzazione di DFA.

— vzn,

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La risposta alla tua domanda è sì.

Vedi i lavori di Bonchi, Bonsangue, Rutten e Silva L' algoritmo di Brzozowski (co) algebricamente (versione più breve della conferenza) e la dualità Algebra-Coalgebra nell'Algoritmo di minimizzazione di Brzozowski (versione più lunga del diario con più generalizzazioni).

Danno una presentazione (leggermente) categorica dell'algoritmo di Brzowzowski e lo usano per ricavarne versioni per classi più generali di automi, inclusi gli automi Moore (che danno una risposta affermativa alla tua domanda).

— Neel Krishnaswami
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Solo per aggiungere alla risposta di Neel, nel mio libro Sequenze automatiche con Jean-Paul Allouche discutiamo di DFAO (automi deterministici finiti con output), che sono esattamente ciò di cui hai chiesto (associa un output a ciascuno stato). E il Teorema 4.3.3 descrive come invertire tale macchina.

— Jeffrey Shallit
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