Migliorare la riduzione generica di Cook per Clique a SAT?

Sono interessato a ridurre -Clique in SAT senza rendere l'istanza molto più grande. $k$

Clique è in NP quindi può essere ridotto a SAT usando lo spazio logaritmico. La semplice riduzione del manuale di Garey / Johnson fa esplodere l'istanza a dimensioni cubiche . Tuttavia, -Clique è in P per ogni fisso, quindi "dovrebbe" esserci una riduzione efficiente almeno per fisso . $k$ $k$ $k$

Un modo per costruire la riduzione consiste nell'utilizzare le variabili SAT come vettore caratteristico , con una variabile impostata su true che indica che il vertice associato si trova nella cricca. Questa riduzione è naturale ma crea un'istanza SAT di dimensioni quadratiche se il grafico è scarso. Per un grafico sparso, sono necessarie quadraticamente molte clausole per imporre che in ogni coppia di vertici non adiacenti al massimo un vertice possa trovarsi nella cricca.

Proviamo a fare meglio di . $O(n^2)$

La riduzione generica di Cook / Schnorr / Pippenger / Fischer funziona prendendo prima un NDTM polinomialmente limitato nel tempo che decide la lingua, simulando l'NDTM da un DTM ignaro, simulando l'oblio DTM da un circuito, e quindi simulando il circuito da un 3 -Istanza SAT. Ciò crea un'istanza 3-SAT di dimensione se il limite di tempo NDTM è . Il fattore log sembra inevitabile a causa delle spese generali durante la simulazione da parte di una macchina ignara. Per -Clique uno sembra avere $O(t(n)\log t(n))$ $t(n)$ $k$ , che produce un'istanza 3-SAT della dimensione , che èquasilineareper fisso. Nel suo articolo del 1988, Cook ha chiesto se esiste una riduzione generica migliore per le lingue in NP e, per quanto ne so, è ancora aperta. Tuttavia, Clique ha molta struttura, quindi forse si può fare di meglio in questo caso. $t(n) = O(nk)$ $O(nk(\log n + \log k))$ $k$

Esiste una riduzione migliore nota da Clique a SAT?

$k$ $k$

(Ho lavorato con una riduzione che sembra evitare il fattore log, ma prima di sprecare più tempo sui dettagli gory per verificarne la correttezza, vorrei sapere se tale riduzione è già nota o se è improbabile che esistere.)

— András Salamon
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k

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k

$k$

k

$k$

k

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k

$k$

k \log n

$k\log n$

k \log n

$k\log n$

k

$k$

k

$k$

$k$ $O(nk)$ $O(nk^2)$ $k$ $n$

$x_{iv}=1$ $v$ $i$ $x_i$ $i$ $nk$

$(i,j)$ $n$ $(\neg x_{iu} \lor x_{jv_1} \lor \dots \lor x_{jv_m})$ $v_1,\dots,v_m$ $u$ $u$ $O(nk^2)$

$i$ $x_i$ $x_i < x_{i+1}$ $O(n)$ $O(nk)$

$k \lg n$ $\lg n$ $i$ $k$ $k(k-1)/2$ $O((n+m+k^2) \text{poly}(\lg n))$ $m =$

— DW
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