Superset temporale poli del linguaggio completo NP con infinite stringhe escluse da esso

Per qualsiasi linguaggio completo arbitrario NP c'è sempre un superset polifunzionale il cui complemento è anche infinito?

Una versione banale che non prevede che il superset abbia un complemento infinito è stata richiesta all'indirizzo /cs//q/50123/42961

Ai fini di questa domanda, si può supporre che . Come Vor ha spiegato, se la risposta è "No". (Se , allora è NP-completo. Chiaramente non c'è un superset di che è infinito e ha un infinito complemento, poiché il complemento di ha un solo elemento.) Pertanto possiamo concentrarci sul caso . $P \ne NP$ $P = NP$ $P = NP$ $X = \{x \mid x \in \mathbb{N^+} \land x > 1\}$ $X$ $X$ $P \ne NP$

cc.complexity-theory np-complete structural-complexity

— ARi
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Se allora è NP-completo. Chiaramente non c'è un superset di che è infinito e ha un complemento infinito (nota che ). Quindi puoi "concentrarti" su cosa succede se .

P = N P

$P = NP$

X = {x ∣ x \in N^{+} \land x > 1}

$X = \{x \mid x \in \mathbb{N^+} \land x > 1\}$

X

$X$

\bar{X} = {1}

$\bar{X} = \{1\}$

P \neq N P

$P \neq NP$

— Marzio De Biasi,

Che ne dici della versione relativizzata: c'è un oracolo

st tutti i set di co-NP

sono P

-immuni.

A

$A$

^{A}

$^A$

^{A}

$^A$

— Lance Fortnow,

@LanceFortnow ... o per qualsiasi linguaggio completo in un particolare. Classe di complessità, c'è sempre un superset non banale di una minore complessità.

— ARi

Risposte:

Ogni set -complete contiene un sottoinsieme infinito in supponendo che $\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}$

esistono generatori pseudocasuali e
esistono permutazioni unidirezionali sicure.

In altre parole, supponendo che queste due congetture sono vere, non set -complete è P- immune . Come sottolineato nei commenti di Lance, ciò è implicito nel Teorema 4.4 di $\mathsf{coNP}$

Glasser, Pavan, Selman e Sengupta, " Proprietà degli insiemi NP completi ", SIAM J. Comput. 36 (2), 516-542.

(Kaveh ha già dimostrato che la tua domanda è equivalente al fatto che ogni set -Complete contiene un infinito sottoinsieme. In altra lingua, questo sta dicendo che non set Completa è " Questa -immune." è la lingua utilizzata nel teorema sopra citato.) $\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}$

— Joshua Grochow
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Progetto ECCC

— Kaveh,

Con potenti funzioni hard-core (e iterazione ), le permutazioni unidirezionali implicano generatori pseudocasuali.

@RickyDemer: vedere le definizioni 4.1-4.3 nel documento citato. Se ho capito bene, gli OWP implicano ciò che chiamano "cripto-PRG", ma non necessariamente quello che chiamano "PRG" nel documento Glasser-Pavan-Selman-Sengupta. Per il loro risultato, sembrano (sembrano) entrambi OWP e ciò che chiamano PRG.

— Joshua Grochow,

Kaveh ha mostrato solo che l'equivalenza con gli insiemi completi di NP è immuno-P, ma la conclusione del teorema 4.4 in Glasser e altri che tutti gli insiemi NP completi devono avere una riduzione crescente della lunghezza, implica anche che non ci sono co-NP- set completi P-immune.

— Lance Fortnow,

@JoshuaGrochow Grazie ... ma ci sono ipotesi che possiamo fare che a loro volta implicano la non esistenza di un tale linguaggio. Ero più interessato agli scenari in cui non esiste un superset temporale polifunzionale

— ARi

Domanda interessante. La dichiarazione

per ogni completo di NP , c'è in P tale che e sono infiniti. $L$ $U$ $L \subseteq U$ $U^c$

è equivalente a:

per ogni completa di NP , il complemento di contiene un set P infinito. $L$ $L$

che a sua volta è equivalente a

ogni set completo di coNP contiene un set P infinito.

~~che è per simmetria uguale a~~

~~ogni set NP completo contiene un set P infinito.~~

Non credo che la risposta sia nota. Penso che i set NP completi naturali soddisfino facilmente questa condizione. Non penso che abbiamo strumenti per costruire un set artificiale che non riesce a affermare. (vedi il commento di Lance sotto)

— Kaveh
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La tua affermazione iniziale è banalmente vera. (Sia U il linguaggio pieno.)

È un'interessante catena di deduzioni ... Potresti dare un esempio di un linguaggio completo NP naturale in questo senso

— ARi

La simmetria non ha senso. Ad esempio, ogni set di ce ha un sottoinsieme infinito calcolabile ma ci sono co-ce-set che non lo fanno.

— Lance Fortnow,