Il problema di backup NP-complete è completo?

Il seguente problema decisionale è NP-completo:

Sia un grafico non indirizzato e due numeri interi. È possibile selezionare per ogni vertice di esattamente diversi vicini in modo tale che nessun nodo sia scelto più di volte. $G$ $b \le c$ $G$ $b$ $c$

Il caso può essere risolto per qualsiasi in tempo polinomiale usando la corrispondenza massima. $b = 1$ $c$

Motivazione: ogni nodo desidera posizionare i backup su diversi vicini, ma ogni nodo ha solo la capacità di archiviare i backup . $b$ $c$

cc.complexity-theory np-hardness graph-algorithms

— Volker Turau
fonte

Penso che il seguente sia un algoritmo del tempo polinomiale basato sul flusso massimo. Sia l'input. $G(V,E), b, c$

Costruire un diretto grafo bipartito con e essendo le pareti sinistra e destra e essendo i bordi rivolti da a . $H(L,R,F)$ $L$ $R$ $F$ $L$ $R$
Let . Ci sono vertici in e vertici in . $|V| = n$ $n$ $L$ $n$ $R$
Ogni vertice ha una "copia" in (diciamo ) e una copia in (diciamo ). $v \in V$ $L$ $v_l$ $R$ $v_r$
Se aggiungi un bordo diretto da a . Ciascuno di questi bordi ha una capacità 1. $(u,v) \in E$ $u_l$ $v_r$
Aggiungere un nodo "sorgente" ed aggiungere archi orientati da ad ogni vertice in . Ciascuno di questi bordi ha una capacità . $s$ $s$ $L$ $b$
Aggiungi un nodo "sink" e aggiungi bordi diretti da ciascun vertice in a . Ciascuno di questi bordi ha una capacità . $t$ $R$ $t$ $c$
Trova il flusso massimo da a . $s$ $t$

Il dato grafico ha una soluzione se e solo se il flusso massimo calcolato sopra satura tutti i bordi da a , ovvero, il flusso su ogni bordo da a è uguale a . $G$ $s$ $L$ $s$ $L$ $b$

— Shiva Kintali
fonte

In effetti, questa è esattamente la soluzione prevista quando lo assegno come un problema di compiti a casa.

— Jeffε,