Quanto è comune la transizione di fase nei problemi NP-completi?

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È noto che molti problemi NP-completi presentano una transizione di fase. Sono interessato qui alla transizione di fase rispetto al contenimento nella lingua, piuttosto che alla durezza dell'input, rispetto ad un algoritmo.

Per rendere il concetto inequivocabile, definiamolo formalmente come segue. Una lingua mostra una transizione di fase (rispetto al contenimento), se $L$

Esiste un parametro di ordine , che è una funzione calcolabile in tempo reale polinomiale calcolabile reale dell'istanza. $r(x)$
C'è una soglia . È una costante reale oppure può dipendere da, cioè . $t$ $n=|x|$ $t=t(n)$
Per quasi ogni con , abbiamo . ( Quasi tutti i mezzi qui: tutti, ma quasi tutti , cioè la proporzione si avvicina a 1, come ). $x$ $r(x)<t$ $x\in L$ $n\rightarrow\infty$
Per quasi ogni con , abbiamo . $x$ $r(x)>t$ $x\notin L$
Per quasi ogni , sostiene che . (Cioè, la regione di transizione è "stretta".) $x$ $r(x)\neq t$

In questo senso, molti problemi naturali completi di NP mostrano una transizione di fase. Esempi sono numerose varianti di SAT, tutte le proprietà dei grafici monotono, vari problemi di soddisfazione dei vincoli e probabilmente molti altri.

Domanda: quali sono alcune "belle" eccezioni? C'è un problema naturale NP completo, che (probabilmente) non ha una transizione di fase nel senso sopra indicato?

cc.complexity-theory phase-transition

— Andras Farago
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Probabilmente si desidera riformulare la condizione 5, poiché ciò può essere facilmente aggirato aggiungendo un po 'di rumore a per assicurarsi che non sia uguale a per qualsiasi . Limitando ad essere una funzione e (entrambi i quali possono essere fatti wlog), un controesempio dovrebbe essere un problema NP completo che nessun algoritmo (l'unico calcolo ) può indovinare in modo affidabile, cioè è difficile anche con istanze scelte dalla distribuzione uniforme. La mia ipotesi è che intendevi che non avesse un potere espressivo così grande.

t

$t$

r (x)

$r(x)$

x

$x$

r

$r$

\pm 1

$\pm 1$

t = 0

$t = 0$

r

$r$

r

$r$

— Yonatan N,

Quindi, se si definisce una transizione di fase, come sopra, allora ci sono casi difficili, con alta probabilità - in caso di problemi NP completi il problema è studiare forse alcune proprietà (prove) del problema in modo che ci siano casi difficili molto probabilmente. Al contrario, se c'era una prova, ci sono casi facili, con un'alta probabilità. Ad esempio, un grafico casuale può avere una densità del bordo vicino alla transizione di fase che potrebbe influire sulla facilità di soluzione dei problemi.

— user3483902

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ricercatori esperti in questo settore sostengono sostanzialmente che le transizioni di fase sono una caratteristica universale dei problemi completi di NP sebbene questo non sia stato ancora formulato / provato rigorosamente e non sia ancora ampiamente considerato / diffuso in un campo più ampio (emana di più da un orientamento empirico ramo di studio). è quasi una congettura aperta. ci sono prove forti. non ci sono candidati plausibili per problemi completi NP non transitori di fase. ecco due riferimenti che supportano questo pov:

Transizioni di fase in problemi NP-completi: una sfida per probabilità, combinatoria e informatica / Moore
Comportamento di transizione di fase / Walsh (ppt)

ecco un abbozzo della verità dell'asserzione. ha a che fare con P contenuto in NP completo. un problema / linguaggio NP completo deve avere istanze risolvibili in tempo P e altre risolvibili in tempo esponenziale (o almeno superpolinomiale) se P ≠ NP. ma deve sempre esserci un modo per "raggruppare" le istanze P dalle istanze "non P". pertanto devono essere sempre presenti anche alcuni "criteri di transizione" tra le istanze P e non. in breve, forse questo fenomeno è intrinsecamente accoppiato con P ≠ NP!

un altro argomento approssimativo: tutti i problemi NP completi sono intercambiabili tramite riduzioni. se si trova una transizione di fase in una sola, deve essere trovata in tutte.

prove più circostanziali per questo, più recentemente (~ 2010) è stato mostrato che la transizione di fase si presenta per limiti inferiori sui circuiti monotoni per il rilevamento della cricca su grafici casuali.

Complessità media dei casi di rilevamento di cricche / Rossman

divulgazione completa: Moshe Vardi ha studiato le transizioni di fase in particolare in SAT e ha una visione più scettica contrastante in questo discorso / video.

Transizioni di fase e complessità computazionale

— VZN
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Buon collegamento sul discorso di Moshe Vardi, grazie! Solo per portare il punto a casa, la transizione di fase di un ensemble NP-Complete non implica una difficoltà nella complessità dell'istanza. M. Vardi non lo menziona ma la propagazione del sondaggio risolve istanze con milioni di variabili / clausole vicino alla soglia critica (sull'estremità positiva) per 3SAT ed è noto da tempo che ci sono quasi sicuri algoritmi di tempo polinomiale per il ciclo HAM su Erdos -Renyi grafici casuali.

— user834

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$G_{n,m}$ $n$ $m$ $\binom{n}{2}$ $m$ $G_{n,m}$

— user3483902
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Il documento collegato mostra esattamente il contrario, che la transizione di fase dei cicli hamiltoniani nei grafici casuali Erdos-Renyi mostra una transizione di fase (nella probabilità che appaia un ciclo hamiltoniano) ma non mostra alcun significativo assorbimento in difficoltà computazionali. È noto che esistono algoritmi di tempo polinomiale probabilistico quasi sicuri per i grafici casuali Erdos-Renyi, ovunque nella transizione di fase, anche alla soglia critica. Mi dispiace, ma devo dare un voto negativo per questa risposta.

— user834

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La colorazione C dei grafici D regolari presenta una serie di transizioni discrete, non particolarmente graduali, a meno che non si allunghi.

Ecco una tabella di risultati di colorazione che presenterò a SAT17. Si noti che 3 colorazioni di 6 grafici regolari sono impossibili, tranne per alcuni esempi. Allo stesso modo 4 colorazione dei grafici di decimo grado ... I grafici C3D5N180 sono leggermente difficili. Il punto d'oro C4D9 è solo provvisoriamente a C4D9N180; I grafici C4D9 sono i 4cnfs più difficili per dimensione che abbia mai incontrato, quindi C4D9 si qualifica come "Hard Spot". Si ipotizza che il punto d'oro C5D16 esista, ma sarebbe nella regione dei punti difficili da 5 colorazioni a 6 colorazioni.

          Universal Constants of Regular Graph Coloring

Le formule di colorazione hanno variabili lgC per vertice, per un totale di variabili lgC * N; i bordi hanno clausole coloranti C, per un totale di clausole C * M. Ci sono alcune clausole aggiuntive per vertice per escludere colori extra. I punti d'oro sono la N più piccola in modo tale che: la colorabilità C sui grafici di grado D con N vertici è quasi sempre soddisfacente, con probabilità vicine a 1. Per alta probabilità, N istanze casuali erano soddisfacenti. Per Very High, N * N sono stati soddisfacenti. Per Super High, le istanze casuali N * N * N erano soddisfacenti.

I punti da colorare dorati Alta probabilità (1 - 1 / N) sono:

C3D5N180 C4D6N18 C4D7N35 C4D8N60 C4D9N180? C5D10N25 C5D11N42 C5D12N72

I punti da colorare dorati della probabilità molto alta (1 - 1 / (N * N)) sono:

C3D5N230? C4D6N18 C4D7N36 C4D8N68 C4D9N ??? C5D10N32 C5D11N50 C5D12N78

I punti di colorazione d'oro Super High Probability (1 - 1 / (N * N * N)) sono:

C3D5N ??? C4D6N22 C4D7N58 C4D8N72? C4D9N ??? C5D10N38 C5D11N58 C5D12N ??

Tutti i casi casuali nello studio sono stati soddisfacenti. I punti di probabilità lineari hanno verificato centinaia di formule soddisfacenti. I punti di probabilità quadratici hanno verificato decine di migliaia di formule soddisfacenti. I punti di probabilità cubici controllarono centinaia di migliaia di formule soddisfacenti. I punti C4D9 e C5D13 sono difficili. Si ipotizza che il punto C5D16 esista. Un'istanza casuale di quindici gradi colorabile proverebbe la congettura.

— Daniel Pehoushek
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