C'è un risultato nella teoria della calcolabilità che non si relativizza?

Stavo leggendo il documento Primi passi nella teoria della calcolabilità sintetica di Andrej Bauer . In conclusione lo nota

La nostra assiomatizzazione ha il suo limite: non può dimostrare alcun risultato nella teoria della computabilità che non riesca a relativizzarsi ai calcoli dell'oracolo. Questo perché la teoria può essere interpretata in una variante dei topos efficaci costruiti da funzioni ricorsive parziali con accesso a un oracolo.

Questo mi ha fatto riflettere sui risultati non relativizzanti della calcolabilità. Tutti i risultati che conosco dalla teoria della calcolabilità si relativizzano al calcolo con gli oracoli.

Ci sono risultati nella teoria della calcolabilità che non si relativizzano? Vale a dire risultati che valgono per la calcolabilità ma non per la calcolabilità relativa a qualche oracolo?

Per risultato intendo un teorema noto nella teoria della calcolabilità, non un'affermazione inventata. Se la nozione di relativizzazione non ha senso per il risultato, non è quello che sto cercando.

È anche interessante sapere se il risultato può essere dichiarato nel linguaggio della teoria della calcolabilità sintetica o meno.

computability relativization

— Anonimo
fonte

Tutti conoscono i risultati non relativizzanti nella teoria della complessità come IP = PSPACE. Sto chiedendo dei risultati della teoria della computabilità non relativizzante , non dei risultati della teoria della complessità .

— Anonimo

@Erfan: i tuoi commenti non sono pertinenti alla domanda. La mia domanda riguarda la teoria della calcolabilità, stai parlando della teoria della complessità. Sto cercando risultati non riletivanti, il teorema della gerarchia temporale si relativizza. Se hai una domanda sul teorema della gerarchia temporale e sulla relativizzazione puoi pubblicare una domanda separata.

— Anonimo

Materiale rilevante: la congettura sull'omogeneità formulata da H. Rogers è stata confutata in Richard A. Shore; La congettura dell'omogeneità (1979): esiste un grado di Turing tale che

non è isomorfo a

(la struttura dei gradi di Turing con ordine parziale

). Vedi una domanda simile su lo.logic

a

$\mathbf{a}$

D (\geq a)

$\mathcal{D}(\geq \mathbf{a})$

D

$\mathcal{D}$

\leq_{T}

$\leq_{T}$

— Marzio De Biasi,

Bella domanda :-)

— Andrej Bauer il

@Marzio: interessante. " Quindi questo significa che esiste una frase del primo ordine nella lingua contenente solo che è vera per i gradi di Turing, ma che è falsa se si relativizza la frase ai gradi di Turing per qualche (e ovviamente , lavorando nei gradi di Turing equivale a dare a tutte le macchine di Turing l'accesso a come un oracolo). Pertanto, la prova che è vera non può essere relativizzata a . $\varphi$ $\leq_T$ $\geq_Tx$ $x$ $\geq_Tx$ $x$ $\varphi$ $x$ "Ma

non è in realtà un risultato in calcolabilità teoria, è inventato per un meta teorema.

φ

$\varphi$

— Anonimo

Risposte:

Teorema di Higman's Embedding: I gruppi presentati computabilmente generati finitamente sono precisamente i sottogruppi generati finitamente di gruppi presentati finitamente. Inoltre, ogni gruppo presentato in modo computabile (anche quelli generati in modo numerabile) è un sottogruppo di un gruppo presentato in modo fine.

Si noti che questa affermazione potrebbe essere relativizzata a: "I gruppi presentati in modo computabile (con qualche oracolo ) sono precisamente i sottogruppi generati finemente di gruppi presentati in modo finito", ma non lo è, come si può dimostrare che per alcuni non computabili ci sono - gruppi presentati in modo computabile che non sono presentati in modo computabile. $O$ $O$ $O$ $O$

Anzi, penso che qualsiasi risultato non relativizzare della teoria della computabilità deve avere qualcosa di questo sapore, come una parte del risultato o la sua prova deve in qualche modo "inchiodare" vera computabilità da computabilità con un oracolo . In questo caso, è la finezza che inchioda "la calcolabilità effettiva". Si noti che, come ha chiesto Scott Aaronson, questo risultato è invariante rispetto a uno dei soliti modelli di calcolo (Turing machine, RAM, ecc.), Ma non relativizza (di nuovo, perché tutti i soliti modelli di calcolo "effettivo" condividono alcuni "proprietà di finiteness" comune). $O$

D'altra parte, si potrebbe sostenere che questo "non conta" per questa domanda, poiché è più simile a una definizione di calcolabilità che utilizza i gruppi di quanto non sia un "risultato della teoria della calcolabilità". D'altra parte, è una definizione di calcolabilità che è robusta da modellare ma non relativizzata . (Contrariamente, per esempio, alla caratterizzazione di Kleene delle funzioni calcolabili che si relativizza facilmente, semplicemente aggiungendo la funzione caratteristica del tuo oracolo all'insieme di funzioni che genera. Non sembra esserci alcuna operazione analoga per i gruppi nel contesto di Higman Embedding.)

— Joshua Grochow
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È la finezza (rispetto all'infinito) che distingue il tuo esempio o la numerabilità (rispetto all'incountability)?

— András Salamon,

Scusa la mia ignoranza, ma il teorema di Higman è uniforme? Vale a dire, dato un gruppo presentato in modo computabile, possiamo calcolare uniformemente un gruppo generato finemente che lo contiene?

— Andrej Bauer,

Ops, per favore sostituisci "finemente generato" con "finemente presentato" nella mia domanda. È stato un errore banale. Quello che mi chiedo è se possiamo sostituire "presentato in modo fine" con qualcosa di un po 'più generale.

— Andrej Bauer,

@AndrewMorgan: sono d'accordo con l'inizio della tua discussione ma non sono d'accordo con la tua conclusione. È spesso abbastanza utile che

sia

completo. Non penso alla relativizzazione di Cook-Levin come del tutto innaturale ... Mi piace molto il suggerimento di Andrej e ci penseremo ...

S A T^{O}

$SAT^O$

N P^{O}

$NP^O$

— Joshua Grochow,

@AndrewMorgan: concordato. Penserei che il genere del nodo sarebbe un buon candidato :).

— Joshua Grochow,

Questo è qualcosa che mi sono spesso chiesto anche!

Se per "risultati nella teoria della calcolabilità" intendi risultati invarianti rispetto alla scelta del modello di macchina (macchine di Turing, macchine RAM, ecc.), Allora non conosco un singolo esempio di tale risultato, e io sicuramente mi sarei ricordato se ne avessi visto uno.

Il più vicino a cui posso suggerire una risposta è: penso che ci siano molte domande interessanti nella teoria della calcolabilità che potrebbero dipendere dal modello della macchina. Ad esempio: la funzione Busy Beaver, con la sua solita definizione in termini di macchine di Turing, è infinitamente spesso strana? Il valore di BB (20) è indipendente da ZFC? Qualunque siano le risposte a queste domande, potrebbero sicuramente essere diverse per analoghi relativizzati della funzione BB.

— Scott Aaronson
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Ecco un esempio più o meno banale: considera il problema dell'arresto per le macchine di Turing che sono specificamente vietate (secondo la definizione del modello di calcolo) di accedere a un oracolo. È indecidibile sia rispetto a nessun oracolo sia a un banale oracolo, eppure è decidibile rispetto a un oracolo per il problema di arresto. (Il problema in sé non cambia rispetto a un oracolo perché non può accedere all'oracolo, ma la TM (senza restrizioni) che decide il problema diventa più potente dato l'oracolo.)

Ci sono anche molti altri esempi. Basta giocare un po 'con il modello di calcolo e puoi trovare altri risultati simili.

— Philip White
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Solo curioso: cosa c'è di sbagliato in questa risposta? Forse i downvoter non credono che sia possibile vietare a una macchina di Turing di accedere a un oracolo e richiedere ulteriori spiegazioni al riguardo?

— Philip White,

Non sembra una definizione molto corretta di relativizzazione per consentire alla macchina di avere un oracolo ma non consentirgli di usare l'oracolo.

— David Eppstein,

Interessante anche se non quello che sto cercando. Sto cercando un risultato noto nella teoria della calcolabilità che non si relativizzi, non un argomento su come elaborare un tale risultato.

— Anonimo

Considera la seguente dichiarazione: H (problema di arresto per macchine di Turing senza oracoli) non è calcolabile. D'altra parte, H è calcolabile rispetto a un oracolo del problema di arresto. Anche se consideriamo questo come un modo di relativizzare l'affermazione, non è interessante. Probabilmente esiste un modo simile per relativizzare qualsiasi affermazione che la rende falsa. Una relativizzazione non sta semplicemente attaccando un oracolo da qualche parte. Una relativizzazione è interessante quando conserva una classe di argomenti interessante, quindi se un'affermazione non si relativizza sappiamo che quella classe di argomenti non può provare l'affermazione.

— Kaveh,

Prendi ad esempio il metodo di relativizzazione in BGS. È interessante perché conserva semplici argomenti di diagonalizzazione in modo che non possano risolvere P vs. NP. Se una relativizzazione non conserva tali argomenti, probabilmente non è un modo interessante di relativizzare le dichiarazioni. Una buona relativizzazione dovrebbe perseverare il maggior numero possibile di argomenti noti e risultati comprovati, meno preserva e meno interessante diventa.

— Kaveh,