Risolvi la ricorrenza

Come posso risolvere la seguente relazione di ricorrenza?

f (n) = f (n - 1) + f (n - \log n)

$f(n) = f(n-1) + f(n - \log n)$

recursion

— gnocco di mobius
fonte

Cosa ottieni se provi ? Sembra che otterrai un limite inferiore di .

f (n) = 2 f (n - \log n)

$f(n) = 2f(n - \log n)$

2^{Ω (n / \log n)}

$2^{\Omega(n/\log n)}$

— Chandra Chekuri,

@ChandraChekuri Oh, fantastico! E c'è un limite superiore di : usiamo la ricorrenza volte e otteniamo quella . Quindi applichiamo questo volte e otteniamo . Quindi lo spazio tra il limite superiore e il limite inferiore è solo nell'esponente. Questo in realtà è abbastanza per i miei scopi, ma lascerò aperta la domanda nel caso in cui qualcuno voglia ed è in grado di colmare il divario. Grazie mille, Chandra!

2^{O (n \log \log n / \log n)}

$2^{O(n \log \log n / \log n)}$

\log n

$\log n$

f (n) \leq (1 + \log n) f (n - \log n)

$f(n) \le (1 + \log n) f(n - \log n)$

n / \log n

$n / \log n$

f (n) \leq (1 + \log n)^{n / \log n} = 2^{O (n \log \log n / \log n)}

$f(n) \le (1 + \log n)^{n / \log n} = 2^{O(n \log \log n / \log n)}$

\log \log n

$\log \log n$

— gnocco di mobius il

Bene, lo stesso trucco dà , quindi .

f (n) \geq (\log n) f (n - 2 \log n)

$f(n)\ge(\log n)f(n-2\log n)$

f (n) = 2^{Θ (n \log \log n / \log n)}

$f(n)=2^{\Theta(n\log\log n/\log n)}$

— Emil Jeřábek 3.0

@Chandra, @Emil e io abbiamo risolto la domanda nei commenti. La soluzione è

f (n) = 2^{Θ (n \log \log n / \log n)} .

$f(n) = 2^{\Theta(n \log \log n / \log n)} \ .$

Per vedere il limite inferiore, applica la definizione di ricorrenza volte, per ottenere Usa questa disuguaglianza volte e scopriamo che la soluzione è . $\log n$

f (n) = 2 f (n - \log n) + f (n - \log n - 1) + \dots + f (n - 2 \log n) \geq \log n \cdot f (n - \log n) .

$f(n) = 2f(n - \log n) + f(n - \log n - 1) + \ldots + f(n - 2 \log n) \ge \log n \cdot f(n - \log n) \ .$

n / \log n

$n / \log n$

2^{Ω (n \log \log n / \log n)}

$2^{\Omega(n \log \log n / \log n)}$

Per ottenere il limite superiore, utilizzare la ricorrenza volte e ottenere quella Usa questa disuguaglianza volte e scopriamo che la soluzione è . $\log n$

f (n) \leq (\log n + 1) \cdot f (n - \log n) .

$f(n) \le (\log n + 1) \cdot f(n - \log n) \ .$

n / \log n

$n / \log n$

2^{O (n \log \log n / \log n)}

$2^{O(n \log \log n / \log n)}$

— gnocco di mobius
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