Influenza minima prevista di una funzione booleana casuale

$f\colon\{-1,1\}^n \to \{-1,1\}$ $i$

{Inf}_{i} [f] \overset{d e f}{=} \underset{x \sim {- 1, 1}^{n}}{Pr} [f (x) \neq f (x^{\oplus i})]

$\operatorname{Inf}_i[f] \stackrel{\rm def}{=} \Pr_{x\sim\{-1,1\}^n}[ f(x) \neq f(x^{\oplus i})]$

x^{\oplus i}

$x^{\oplus i}$

i

$i$

x

$x$

f

$f$

MinInf [f] \overset{d e f}{=} min_{i \in [n]} {Inf}_{i} [f] .

$\operatorname{MinInf}[f] \stackrel{\rm def}{=} \min_{i\in[n]}\operatorname{Inf}_i[f].$

Dato un parametro , scegliamo una funzione -random scegliendo il suo valore su ciascuno degli ingressi indipendentemente a caso per essere con probabilità , e con probabilità . Quindi, è facile vedere che, per ogni e a fortiori $p\in[0,1]$ $p$ $f$ $2^n$ $1$ $p$ $-1$ $1-p$ $i\in[n]$

E_{f} [{Inf}_{i} [f]] = 2 p (1 - p)

$\mathbb{E}_{f}[\operatorname{Inf}_i[f]] = 2p(1-p)$

I_{n} (p) \overset{d e f}{=} E_{f} [MinInf [f]] \leq 2 p (1 - p) .

$I_n(p) \stackrel{\rm def}{=}\mathbb{E}_{f}[\operatorname{MinInf}[f]] \leq 2p(1-p).$

La mia domanda è:

Esiste un'espressione stretta asintoticamente (rispetto a $n$ ) per ? Anche per , possiamo ottenere una tale espressione? $I_n(p)$ $p=\frac{1}{2}$

In particolare, mi interessano i termini di ordine basso, cioè sarei interessato a un equivalente asintotico per la quantità $2p(1-p)-I_n(p)$ .

(La domanda successiva, ma che è subordinata alla prima, è se si può anche ottenere buoni limiti di concentrazione attorno a questa aspettativa.)

Tramite i limiti di Chernoff si può anche dimostrare che ogni ha una buona concentrazione, in modo che da un vincolo sindacale si ottenga (se non ho sbagliato troppo) ma questo è molto probabilmente sciolto sul limite inferiore (a causa del limite sindacale) e sicuramente sul limite superiore. (In particolare cerco un limite superiore strettamente inferiore al banale ). $\operatorname{Inf}_i[f]$

\frac{1}{2} - O (\sqrt{\frac{n}{2^{n}}}) \leq I_{n} (\frac{1}{2}) \leq \frac{1}{2}

$\frac{1}{2} - O\left(\sqrt{\frac{n}{2^n}}\right) \leq I_n\left(\frac{1}{2}\right) \leq \frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

Nota che uno dei problemi nel farlo, oltre a prendere il minimo di variabili casuali distribuite identicamente (le influenze), è che queste variabili casuali non sono indipendenti ... anche se mi aspetto che la loro correlazione decada "abbastanza velocemente" con . $n$ $n$

(Per quello che vale, ho calcolato esplicitamente i primi pochi fino a e ho eseguito simulazioni per stimare i seguenti, fino a o giù di lì. Non sono sicuro di quanto sia stato utile potrebbe essere, ma posso includerlo una volta tornato nel mio ufficio.) $I_n(1/2)$ $n=4$ $n=20$

reference-request pr.probability boolean-functions

— Clemente C.
fonte

Ecco i primi pochi (solo i primi 4 sono esatti, gli altri provengono da campionamenti casuali (per stimare le influenze) mediati su 10 ^ 5 funzioni generate casualmente):

(nota: per le simulazioni, non sono sicuro che la quarta cifra sia davvero significativa)

\begin{aligned} 1 & 0.500 \\ 2 & 0.375 \\ 3 & 0.3359375 \\ 4 & 0.339141845703125 \\ 5 & 0.3623 \\ 6 & 0.3907 \\ 7 & 0.4166 \\ 8 & 0.4373 \\ 9 & 0.4535 \\ 10 & 0.4659 \\ 11 & 0.4751 \\ 19 & 0.4965 \\ 20 & 0.4967 \end{aligned}

$\begin{align}1 &\qquad 0.500\\ 2 &\qquad 0.375\\ 3 &\qquad 0.3359375\\ 4 &\qquad 0.339141845703125\\ 5 &\qquad 0.3623\\ 6 &\qquad 0.3907\\ 7 &\qquad 0.4166\\ 8 &\qquad 0.4373\\ 9 &\qquad 0.4535\\ 10 &\qquad 0.4659\\ 11 &\qquad 0.4751\\ 19 &\qquad 0.4965\\ 20 &\qquad 0.4967\\ \end{align}$

— Clemente C.

Ecco un passo nella giusta direzione ...

Mi sostengono che per , si dispone di $p=1/2$ . $1/2 - I_n(1/2) = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

(Questo non è abbastanza forte come dovrebbe essere. Forse qualcuno può rafforzare l'argomento per mostrare .) Ecco uno schizzo di prova. $\Omega(\sqrt{n/2^n})$

Basta mostrare . Lo facciamo. $1/2 - E_f[\min(\text{Inf}_1[f],\text{Inf}_2[f])] = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

Si noti che se e erano completamente indipendenti, ci davamo da fare perché l'attesa del minimo di due somme indipendenti è $\text{Inf}_1[f]$ $\text{Inf}_2[f]$ . Innanzitutto, discuteremo attentamente che le due somme sono quasi indipendenti. $1/2-\Omega(\sqrt{1/2^n})$

Considera l'universo dei punti . Chiama e in -neighbors se differiscono solo l' esimo coordinate. Supponiamo che i due vicini contribuiscano (a ) se . (Quindi è il numero di contribuenti $X=\{-1,1\}^n$ $x$ $x'$ $X$ $i$ $i$ $\text{Inf}_i[f]$ $f(x) \ne f(x')$ $\text{Inf}_i[f]$ $i$ -neighbors, diviso per .) Si noti che, se e sono -neighbors, e e sono -neighbors, allora o o . Quindi, il numero di contribuenti $2^{n-1}$ $x$ $x'$ $i$ $y$ $y'$ $i$ $\{x,x'\}=\{y,y'\}$ $\{x,x'\}\cap\{y,y'\}=\emptyset$ $i$ -neighbors è la somma di variabili casuali indipendenti, ciascuna con aspettativa . $2^{n-1}$ $1/2$

Partiziona l'universo in gruppi di dimensioni quattro, dove e sono nello stesso gruppo se e concordano su tutti tranne le prime due coordinate. Quindi per ogni coppia di 1 vicini, e ogni coppia di 2 vicini, e fanno parte dello stesso gruppo. Per un dato gruppo ed $X$ $2^{n-2}$ $x$ $x'$ $x$ $x'$ $(x,x')$ $(x,x')$ $x$ $x'$ $g$ , diciamo rv essere il numero di contribuire -neighbors in . Quindi, ad esempio, il numero complessivo di 1 vicini vicini è , una somma di variabili casuali indipendenti, ciascuna in . $i\in\{1,2\}$ $c^g_i$ $i$ $g$ $\sum_g c^g_1$ $2^{n-2}$ $\{0,1,2\}$

Si noti che e sono indipendenti se . Dall'analisi di un caso, se , la distribuzione congiunta di e è $c^g_1$ $c^{g'}_2$ $g\ne g'$ $g=g'$ $c^g_1$ $c^g_2$

\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \\ 1 & 0 & 1 / 2 & 0 \\ 2 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \end{array}

$\begin{array}{c|ccc} & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ 1 & 0 & 1/2 & 0 \\ 2 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ \end{array}$

Sia rv denota l'insieme di gruppi neutri . (Contribuiscono esattamente alla loro quantità prevista all'influenza 1 e all'influenza 2). Il numero di 1 vicini che contribuiscono è quindi $N=\{ g : c^g_1=c^g_2=1\}$

| N | + \sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g} .

$|N| + \sum_{g\in \overline{N}} c^g_1.$

$N$ $g\in \overline N$ $c^g_1$ $c^g_2$ $N$ $\{c^g_i : i\in\{1,2\}, g\in\overline N\}$ $\{0,2\}$

E [| \bar{N} | - min (\sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g}, \sum_{g \in \bar{N}} c_{2}^{g}) | N] \geq Θ (\sqrt{| \bar{N} |}) .

$\textstyle E\Big[|\overline N|- \min\big(\sum_{g\in \overline N} c^g_1, \sum_{g\in \overline N} c^g_2\big) ~\Big|~ N\Big] \ge \Theta(\sqrt{|\overline N|}).$

$\Pr[|\overline N| \le 2^{n-2}/3]$ $\exp(-\Omega(2^n))$ $-2^n$

— Neal Young
fonte

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