Nuova prova del pompaggio del lemma per le lingue normali

Sia la famiglia di tutte le lingue oltre Σ soddisfacendo la proprietà di pompaggio delle lingue normali. Vale a dire: per ogni L ∈ L , c'è una N ∈ N st ogni parola w ∈ L , | w | > N può essere scritto nel formato w = x y z dove: 1. | y | > 0 , 2. | x y | ≤ N , 3. x y i$\mathcal{L}$$\Sigma$$L\in\mathcal{L}$$N\in\mathbb{N}$$w\in L$$|w|> N$$w=xyz$$|y|>0$$|xy|\le N$ per tutti i ≥ 0 .$xy^i z\in L$$i\ge 0$

È un semplice esercizio [1] per dimostrare che contiene le lingue singleton L = { σ } , σ ∈ Σ ed è chiusa sotto unione, concatenazione e stella di Kleene. È anche risaputo che la famiglia delle lingue normali è la più piccola che contiene i singoli ed è chiusa sotto unione, concatenazione e stella di Kleene. Conclusione: le lingue regolari soddisfano la proprietà di pompaggio.$\mathcal{L}$$L=\{\sigma\}$$\sigma\in\Sigma$

Domanda: qualcuno ha visto questa prova in letteratura? [1] Proposto da D. Berend.

Sostanzialmente lo stesso argomento è stato fatto da Andries PJ van der Walt (1976, Lemma 2.3 ed Esempio 2.9) per la variante del lemma di pompaggio in cui sono marcate lettere e tutte e tre le x , y , z devono contenere lettere marcate. Vedi anche Autebert, Boasson e Cousineau (1978) per ulteriori proprietà di famiglie astratte di lingue che soddisfano questa variante del lemma di pompaggio.$N$$x$$y$$z$