Come determinare se una prova richiede "tecniche di ragionamento di ordine superiore"?

La domanda:

Supponiamo che io abbia una specifica di un problema costituito da assiomi e un obiettivo (cioè il problema di prova associato è se l'obiettivo è soddisfacente dati tutti gli assiomi). Supponiamo anche che il problema non contenga incoerenze / contraddizioni tra gli assiomi. C'è un modo per determinare in anticipo (cioè senza prima costruire una prova completa) che per dimostrare il problema occorrerà un "ragionamento di ordine superiore"?

Con "ragionamento di ordine superiore" intendo applicare passaggi di prova che richiedono che la logica di ordine superiore sia scritta. Un esempio tipico di "ragionamento di ordine superiore" sarebbe l'induzione: la scrittura di uno schema di induzione in linea di principio richiede l'uso di una logica di ordine superiore.

Esempio:

Si può specificare il problema di prova "L'aggiunta su due numeri naturali è commutativa?" usando la logica del primo ordine (cioè definire il numero naturale tramite costruttori zero / succ insieme agli assiomi standard, insieme agli assiomi che definiscono ricorsivamente una funzione "più"). La dimostrazione di questo problema richiede l'induzione sulla struttura del primo o del secondo argomento di "più" (a seconda della definizione esatta di "più"). Avrei potuto saperlo prima di provare a provarlo, ad esempio analizzando la natura del problema di input ...? (Naturalmente, questo è solo un semplice esempio a scopo illustrativo - in realtà, questo sarebbe interessante per problemi di prova più difficili della commutatività di plus.)

Qualche altro contesto:

Nella mia ricerca, provo spesso ad applicare dimostratori di teorema del primo ordine automatizzati come Vampire, eprover ecc. Per risolvere problemi di prova (o parti di problemi di prova), alcuni dei quali potrebbero richiedere un ragionamento di ordine superiore. Spesso, i dimostratori richiedono un po 'di tempo per elaborare una prova (a condizione che ci sia una prova che richiede solo tecniche di ragionamento di primo ordine). Naturalmente, il tentativo di applicare un proore del teorema del primo ordine a un problema che richiede un ragionamento di ordine superiore si traduce in genere in un timeout.

Pertanto, mi sono chiesto se ci sono metodi / tecniche che possono dirmi in anticipo se un problema di prova richiederà tecniche di ragionamento di ordine superiore (che significa "non perdere tempo cercando di passarlo a un proveratore di teoremi del primo ordine" ) o no, almeno forse per particolari problemi di input.

Ho cercato in letteratura una risposta alla mia domanda e ho chiesto ad alcuni ricercatori dell'area del teorema di dimostrarlo - ma finora non ho ricevuto nessuna buona risposta. La mia aspettativa sarebbe che ci sia qualche ricerca su questo argomento da parte di persone che provano a combinare dimostrazione di teoremi interattivi e dimostrazione di teoremi automatizzati (comunità di Coq? Comunità di Isabelle (mazza)?) - ma finora non sono riuscito a trovare nulla.

Immagino che in generale, il problema che ho delineato qui sia indecidibile (vero?). Ma forse ci sono buone risposte per versioni raffinate del problema ...?

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— Sylvia Grewe
fonte

Quello che stai chiedendo è essenzialmente decidere se una determinata formula è dimostrabile (nel tuo sistema più debole), il che è in generale indecidibile anche per una semplice teoria come Q. Ma la provabilità in realtà non è molto utile perché una teoria più forte può abbreviare le prove di un teorema a sacco. Decidere se un teorema ha una breve prova è NP-completo. Dubito che ci sia una buona euristica.

— Kaveh,

L'aritmetica di Peano ha induzione e l'aritmetica di Peano è di primo ordine (cioè si quantifica solo sugli individui). Lo stesso per ZFC. Per citare Martin Davis: "le logiche di ordine superiore sono solo varianti notazionali delle teorie degli insiemi formalizzate nella logica del primo ordine, la questione dell'uso dei formalismi di ordine superiore nella dimostrazione di teoremi meccanici dipende semplicemente dal fatto che tali formalismi suggeriscano o meno algoritmi utili ".

— Martin Berger,

@MartinBerger Ai fini di questa domanda, gli schemi di assioma contano come "tecniche di ragionamento di ordine superiore"

— fread2281

@ fread2281 È utile fare attenzione con la terminologia. Esistono teorie degli insiemi che hanno un'assiomatizzazione finita (ad esempio la teoria degli insiemi di Neumann – Bernays – Gödel che è un'estensione conservativa della ZFC). Al contrario, gli schemi degli assiomi di ZFC non possono essere espressi da un numero finito di assiomi. Penso, ma non sono sicuro in questo momento che gli schemi degli assiomi non abbiano bisogno del pieno potere della teoria degli insiemi o della logica di ordine superiore.

— Martin Berger,

In breve, ogni teorema dichiarato nella logica del primo ordine ha una prova del primo ordine.

Nel suo libro "Introduzione alla logica matematica e alla teoria dei tipi", Peter B. Andrews sviluppa sia la logica di primo ordine sia un sistema di logica di ordine superiore Q ₀ , che è generalmente considerata la base teorica dei moderni dimostratori di ordine superiore . (Vedi ad esempio l'introduzione alla logica HOL.)

Per Q ₀ e sistemi simili, Andrews mostra che le logiche di ordine superiore che descrive possono essere considerate come estensioni conservative della logica del primo ordine e scrive (seconda edizione, p. 259) che, "In sintesi, ogni teorema del primo ordine di la teoria dei tipi ha una prova del primo ordine ".

Date le tue preoccupazioni pratiche, cito anche il seguente paragrafo:

"Tuttavia, alcuni teoremi della logica del primo ordine possono essere dimostrati nel modo più efficiente usando concetti che possono essere espressi solo nella logica di ordine superiore. Esempi possono essere trovati in [Andrews and Bishop, 1996] e [Boolos, 1998, Chapter 25] Statman ha dimostrato [Statman, 1978, Proposition 6.3.5] che la lunghezza minima di una dimostrazione nella logica del primo ordine di un wff di logica del primo ordine può essere straordinariamente più lunga di quella della lunghezza minima di una dimostrazione della stessa wff in Logica del secondo ordine Un risultato correlato di Godel [Godel, 1936] è che in generale 'passare alla logica del prossimo ordine superiore ha l'effetto, non solo di rendere dimostrabili certe proposizioni che non erano provabili prima, ma anche di fare è possibile abbreviare in modo straordinario molte delle prove già disponibili ". Una prova completa di ciò può essere trovata in [Buss,1994]."

— Cris P
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