Perché consideriamo lo spazio-log come un modello di calcolo efficiente (anziché poligono-spazio)?

Questa potrebbe essere una domanda soggettiva piuttosto che una con una risposta concreta, ma comunque.

Nella teoria della complessità studiamo la nozione di calcoli efficienti. Esistono classi come sta per tempo polinomiale e L sta per spazio di registro . Entrambi sono considerati rappresentati come una sorta di "efficienza" e colgono abbastanza bene le difficoltà di alcuni problemi.$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$

Ma c'è una differenza tra e L : mentre il tempo polinomiale, P , è definito come l'unione di problemi che corre nel tempo O ( n k ) per qualsiasi costante k , cioè,$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{P}$$O(n^k)$$k$

,$\mathsf{P} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{TIME[n^k]}$

lo spazio del registro, , è definito come S P A C E [ registro n ] . Se imitiamo la definizione di P , diventa$\mathsf{L}$$\mathsf{SPACE[\log n]}$$\mathsf{P}$

,$\mathsf{PolyL} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{SPACE[\log^k n]}$

dove è chiamata la classe di spazio polillogico . La mia domanda è:$\mathsf{PolyL}$

Perché utilizziamo lo spazio del registro come nozione di calcolo efficiente, anziché spazio poligonale?

Un problema principale potrebbe riguardare i set di problemi completi. Sotto lo spazio dei registri molte riduzioni, sia che L hanno problemi completi. Al contrario, se P o l y L ha problemi complete in tali riduzioni, allora avremmo contraddizione al teorema gerarchia spazio. E se passassimo alle riduzioni dei poliloghi? Possiamo evitare tali problemi? In generale, se facciamo del nostro meglio per adattarsi P o l y L nella nozione di efficienza, e (se necessario) modificare alcune delle definizioni di ottenere ogni buone proprietà di una classe "bella" dovrebbe avere, quanto lontano possiamo andare?$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{PolyL}$$\mathsf{PolyL}$

Esistono motivi teorici e / o pratici per l'utilizzo dello spazio del registro anziché dello spazio pollogico?

La classe più piccola contenente tempo lineare e chiusa sotto le subroutine è P. La classe più piccola contenente spazio di registro e chiusa sotto le subroutine è ancora spazio di registro. Quindi P e L sono le classi più piccole e robuste rispettivamente per tempo e spazio, motivo per cui si sentono giuste per modellare un calcolo efficiente.

$\text{SPACE}[\log^2 n] \subseteq \text{P}$$\log^{k-1}(n)$$\text{NSPACE}$$[\log^k n]$$\text{-complete}$

$\text{PLOSS} = \bigcup_k \text{TISP}[n^k, k \, \log^2 n]$$\text{DCFL} \subseteq \text{PLOSS}$$\text{SC}^2$$\text{SC}^k$

$2^{O(\log n)} = \operatorname{poly}(n)$

$\text{NSPACE}[\log^k n] \subseteq \text{SPACE}[\log^{2k}n]$

$\text{SC}^k = \text{TISP}[\operatorname{poly}(n), \log^k n]$

Penso che tutte le altre risposte siano molto buone; Proverò a dare una prospettiva diversa sulla questione.

Non so quanto P modellizzi il calcolo "efficiente" nel mondo reale, ma ci piace la classe per le sue belle proprietà di chiusura e altri motivi matematici. Allo stesso modo, L è anche una bella classe a causa di alcuni dei motivi di cui sopra.

Tuttavia, come hai commentato, se rilassiamo la nostra definizione di tempo "efficiente" a quasi polinomiale, anche PolyL è efficiente. Potremmo discutere la teoria della complessità in cui consentiamo alle classi definite con un limite logaritmico su alcune risorse di utilizzare invece risorse polillogiche. Di conseguenza, rilasseremmo anche le nostre definizioni di NC, NL, ecc. Per consentire invece circuiti di dimensioni quasi polinomiali. Se lo facciamo, NC ₁ , L, NL e NC coincidono tutti con la classe PolyL. In questo senso, PolyL è una classe solida poiché molte classi naturali coincidono con essa. Per ulteriori informazioni sulla teoria della complessità con log -> polilomio e polinomio -> quasi polinomiale, vedere Classi di circuiti di dimensioni quasipolinomiali di Barrington.

Un altro motivo per studiare polyL o classi simili come quasi-AC ₀ è che mentre una separazione dell'oracolo tra (diciamo) ParityP e PH implica che PARITY non è contenuta in AC ₀ , l'implicazione inversa non è nota per essere vera. D'altra parte, PARITÀ non è contenuta in quasi-AC ₀ se e solo se esiste una separazione dell'oracolo tra ParityP e PH. Allo stesso modo, le classi quasi-TC ₀ e quasi-AC ₀ sono diverse se e solo se esiste una separazione dell'oracolo tra CH e PH. Quindi le solite classi di complessità come PH, ModPH, CH, ecc. Quando ridimensionate da un esponenziale per dimostrare i risultati dell'oracolo si trasformano in versioni quasi polinomiali delle solite classi AC ₀ , ACC ₀ e TC₀ rispettivamente. Allo stesso modo, l'argomento usato nel teorema di Toda (PH è contenuto in P ^PP ) può essere usato per mostrare che quasi-AC ₀ è contenuto in quasi-TC quasi- ₃ . (Non so se la stessa conclusione è nota per le solite versioni di queste classi. Ho visto questo elencato come un problema aperto in alcuni documenti.)