Esistono rappresentazioni descrittive della complessità delle classi di complessità quantistica?

Il titolo dice più o meno tutto, ma immagino di poter aggiungere un po 'di background e alcuni esempi specifici che mi interessano.

I teorici della complessità descrittiva, come Immerman e Fagin, hanno caratterizzato molte delle classi di complessità più note usando la logica. Ad esempio, NP può essere caratterizzato con query esistenziali di secondo ordine; P può essere caratterizzato con query del primo ordine con l'aggiunta di un operatore a punto minimo fisso.

La mia domanda è: ci sono stati tentativi, in particolare quelli di successo, di elaborare rappresentazioni per classi di complessità quantistica, come BQP o NQP? In caso contrario, perché no?

Grazie.

Aggiornamento (moderatore) : questa domanda risponde completamente a questo post su mathoverflow .

Penso che la risposta di Robins alla mia domanda su MO risponda anche a questa.

Una complessità descrittiva caratterizzazione di una classe di complessità dà un linguaggio la cui query (cioè le formule) sono esattamente le funzioni calcolabili in . La sintassi della lingua è di solito molto semplice, cioè data una stringa è facile controllare se è una query ben formata della lingua, almeno dovrebbe essere decidibile (ma di solito il controllo della sintassi viene eseguito in un piccola classe di complessità). Ciò comporterebbe efficace enumerablity dei problemi nella classe e darebbe una caratterizzazione sintattica . (Se la complessità del controllo della sintassi è bassa, potrebbe anche implicare l'esistenza di un problema completo per la classe.)C q q C $C$$C$$q$$q$$C$$C$

Nei commenti sopra, Robin si è collegato al documento di Kord Eickmeyer e Martin Grohe " Randomizzazione e derandomizzazione nella teoria della complessità descrittiva " che fornisce una caratterizzazione della "complessità descrittiva" della . Gli stessi autori notano nell'introduzione che questo è diverso da ciò che di solito si intende per caratterizzazione della complessità descrittiva:$BPP$

Dimostriamo che , la versione probabilistica della logica a virgola fissa con conteggio, acquisisce la classe di complessità , anche su strutture non ordinate. Per le strutture ordinate, questo risultato è una conseguenza diretta del Teorema di Immerman-Vardi [7, 8], e per le strutture arbitrarie segue dall'osservazione che possiamo definire un ordine casuale con alta probabilità in BPIFP + C. Tuttavia, il risultato è sorprendente a prima vista a causa della sua somiglianza con la questione aperta se esiste una logica che cattura , e perché si ritiene che . L'avvertenza è che la logicaB P P P P = B P P B P I F P + C P B P I F P + C B P P B P P $BPIFP+C$$BPP$$P$$P = BPP$ $BPIFP+C$non ha una sintassi efficace e quindi non è una “logica”, secondo di Gurevich [9] definizione sottostante la domanda per una logica che cattura . $P$Tuttavia, riteniamo che fornisca una descrizione completamente adeguata della classe di complessità , perché anche la definizione di è intrinsecamente inefficace (al contrario della definizione di in termini dell'insieme decidibile di macchine di Turing con clock polinomiale).$BPIFP+C$$BPP$$BPP$$P$

Non sono un esperto di teoria dei modelli finiti / complessità descrittiva (e personalmente vorrei sentire di più dagli esperti), ma la mia sensazione è che qui ci sia un po 'di imbrogli nel dire che si tratta di una caratterizzazione della complessità descrittiva. La ragione del mio sentimento è che se ci viene permesso di avere una sintassi non efficace, possiamo usare restrizioni semantiche arbitrarie per limitare la classe di query ben formate e possiamo dare una caratterizzazione di "complessità descrittiva" per qualsiasi classe di complessità. Ad esempio, considera (che acquisisce ), quindi accetta esattamente quelle query che sono calcolabili in ; oppure considera la lingua che ha un simbolo di funzione per ogni macchina in . Entrambi catturanoP S p a c e B Q P B Q P B Q $SO(TC)$$PSpace$$BQP$$BQP$$BQP$ ma non ha una sintassi efficace.

Gurevich nel formulare la congettura su una logica che potrebbe catturare richiede che la logica sia calcolabile in due modi: (1) l'insieme di frasi legalmente ottenibili dal vocabolario deve essere calcolabile, dato ; e (2) la relazione di soddisfacibilità deve essere calcolabile da , cioè coppie ordinate costituite da una struttura finita e una frase tali che tutti i modelli isomorfi da soddisfano . Inoltre, in modo significativo per il confronto con questo risultato logico randomizzato, il vocabolario σ σ σ M φ M φ σ R 1 , R 2 , $\mathsf{P}$$\sigma$$\sigma$$\sigma$$M$$\varphi$$M$$\varphi$$\sigma$deve essere finito. (Un vocabolario è un insieme di simboli e simboli di relazione costanti, ad esempio segno di uguale, segno meno di, ) Questa è una parafrasi della definizione 1.14 di questo documento di Gurevich , che è riferimento [9] nella citazione di Kaveh.$R_1,R_2,\ldots$

L'articolo su BPP e la logica randomizzata presenta un quadro significativamente diverso. Inizia con un vocabolario finito , e quindi considera uno spazio di probabilità di tutti i vocabolari che estendono con un vocabolario disgiunto . Quindi una formula è soddisfacente nella nuova logica randomizzata se è soddisfacente in logiche "sufficienti" basate su estensioni di con differentiσ ρ σ $\sigma$$\sigma$$\rho$$\sigma$$\rho$. Questa è la mia macellazione della definizione 1 nel documento di Eickmeyer-Grohe collegato a Robin Kothari. In particolare, il vocabolario non è finito (beh, ogni vocabolario lo è, ma dobbiamo considerare infinitamente molti vocabolari distinti), l'insieme di frasi di questa logica è indecidibile e la nozione di soddisfacibilità è diversa da quella proposta da Gurevich .