Complessità nel conteggio di tutti i sottografi collegati

Lascia che G sia un grafico collegato.

Qual è la complessità del conteggio di tutti i sottografi collegati se G è dei seguenti tipi?

G è generale.

G è planare.

G è bipartito.

Non mi interessa nessuna struttura o ..., ho solo bisogno di contare tutti i sottografi collegati! Sono anche interessato alla complessità del conteggio di tutti i sottografi collegati con esattamente k nodi in G.

Anche i puntatori a documenti e libri sono i benvenuti!

cc.complexity-theory graph-theory counting-complexity

— marjoonjan
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Sei consapevole che l'elenco nella domanda non è formattato correttamente? meta.cstheory.stackexchange.com/questions/300/… Se non ti interessa la formattazione, va bene. Ma non sono sicuro che qualcuno voglia trascorrere del tempo per rispondere alla tua domanda quando non vuoi spendere del tempo per formattare correttamente la tua domanda. (Non sto dicendo di conoscere la risposta.)

— Tsuyoshi Ito

Inoltre, ti interessa elencare i sottografi collegati di dimensioni / ordine / struttura / ... arbitrari, o desideri che si estendano o qualcos'altro?

— Anthony Labarre,

Sembra esserci il lavoro sul conteggio dei sottografi spanning collegati . La pagina 32 del "Multivariate Tutte Polynomial" di Sokal collega il polinomio tra sub-spanning e il polinomio di affidabilità che ha un'enorme letteratura

— Yaroslav Bulatov,

Mi dispiace, la mia precedente risposta sull'uso del teorema di Kirchhoff era sbagliata. Ho pensato a un argomento di inclusione ed esclusione, ma questo potrebbe essere impossibile.

— didest

Questo documento non è esattamente quello che hai chiesto, ma il documento e i suoi riferimenti possono aiutare a sviluppare alcune idee.

— MS Dousti,

Risposte:

Gallese afferma che il problema # P è completo anche nel caso più limitato (contando il numero di sottografi collegati di un grafico bipartito planare). Vedi il fondo pagina 305 in Gallese, Dominic (1997), "Conteggio approssimativo", Surveys in Combinatorics , Bailey, RA, ed., Cambridge University Press, pp. 287–324.

Nel contesto, però, mi chiedo se intenda davvero connettere i sottografi. E questo mi porta a chiedermi quale versione del problema desideri: sottografi con spanning collegati, sottografi collegati che non devono essere sottoposti a spanning o sottografi indotti collegati?

— David Eppstein
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Questa è una risposta alla risposta di David. Senza aver ancora letto quel libro, immagino che il problema sia il conteggio dei sottografi spanning collegati, perché questo è il punto x = 1 y = 2 del polinomio Tutte, e l'autore era interessato a questo. Ma in effetti penso che questi tre problemi si riducano abbastanza facilmente dal conteggio del problema relativo al subgraph connesso. Le seguenti riduzioni dovrebbero funzionare sia per il conteggio esatto che per l'approssimazione, anche se penso che il problema dell'approssimazione sia ancora aperto.

$K_A$ $A$

$\#P$

— Colin McQuillan
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Non è necessario allegare una cricca, giusto? È possibile allegare tutto ciò che ha molti sottografi collegati, purché si colleghi la stessa cosa a ciascun vertice. Quindi potresti fare queste riduzioni preservando sia la planarità che il bipartitismo.

— David Eppstein,