Massima corrispondenza del peso e funzioni sottomodulari

Dato un grafico bipartito con pesi positivi lasciare con uguale alla corrispondenza del peso massimo nel grafico . $G = (U \cup V, E)$ $f: 2^U \rightarrow \mathbb{R}$ $f(S)$ $G[S\cup V]$

È vero che è una funzione sottomodulare? $f$

matching submodularity

— George Ottaviano Rabanca
fonte

Cosa ne pensi? Hai provato a provarlo / smentirlo?

— Yuval Filmus,

Intuitivamente sembra che dovrebbe essere vero ma non sono riuscito a dimostrarlo. Inoltre penso che se è vero dovrebbe essere un risultato ben noto ma non sono riuscito a trovare un riferimento.

— George Octavian Rabanca,

Questo è vero per casi non ponderati, in quanto può essere ridotto a tagli minimi. Non è ovvio come provare la versione ponderata ...

— Chao Xu,

Considerare

con i bordi dei pesi 1,1,1,2.

K_{2, 2}

$K_{2,2}$

— András Salamon,

@ AndrásSalamon Sembra che nell'ultimo passaggio si supponga che

sia additivo, il che non è vero. L'accoppiamento massimo di

potrebbe utilizzare vertici che sono già stati utilizzati sia corrispondenza di

. Ho una prova per questo ora, ma è sicuramente più coinvolto di così.

f

$f$

S \cap T

$S\cap T$

S ∖ T

$S \setminus T$

T ∖ S

$T \setminus S$

— George Octavian Rabanca,

Definizione . Per un dato set finito , una funzione set è sottomodulare se per qualsiasi sostiene che: $A$ $f:2^A \rightarrow \mathbb{R}$ $X, Y \subseteq A$

f (X) + f (Y) \geq f (X \cup Y) + f (X \cap Y) .

$f(X) + f(Y) \geq f(X \cup Y) + f(X \cap Y).$

Lemma Dato un grafico bipartito con pesi dei bordi positivi, sia la funzione che mappa al valore della corrispondenza del peso massimo in . Quindi è sottomodulare. $G = (A \cup B, E)$ $f: 2^A \rightarrow \mathbb{R}^+$ $S\subseteq A$ $G[S \cup B]$ $f$

Prova. Fissare due serie e lasciare che e siano due corrispondenze per i grafici e rispettivamente. Per dimostrare il lemma è sufficiente dimostrare che è possibile dividere i bordi in e in due abbinamenti disgiunti e $X, Y \subseteq A$ $M_\cap$ $M_\cup$ $G[(X\cap Y) \cup B]$ $G[(X \cup Y) \cup B]$ $M_\cap$ $M_\cup$ $M_X$ $M_Y$ per i grafici e rispettivamente. $G[X\cup B]$ $G[Y\cup B]$

I bordi di e formano una raccolta di percorsi e cicli alternati. Lasciate denotare questa raccolta e osservare che nessun ciclo di contiene vertici di o . Questo vale perché non corrisponde a quei vertici. $M_\cap$ $M_\cup$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $X\setminus Y$ $Y\setminus X$ $M_\cap$

Lasciate l'insieme di percorsi in con almeno un vertice in e lasciare l'insieme di percorsi in con almeno un vertice in . Due di questi percorsi sono rappresentati nella figura seguente. $\mathcal{P}_X$ $\mathcal{C}$ $X \setminus Y$ $\mathcal{P}_Y$ $\mathcal{C}$ $Y \setminus X$

Rivendicazione 1. . $\mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y = \emptyset$

Assumere per assurdo che esiste un percorso . Let essere un vertice sul percorso ed analogamente lasciare tramite un vertice sul percorso . Osservare che poiché né né appartengono a non appartengono ai corrispondenti per definizione, e quindi sono gli estremi del percorso . Inoltre, poiché sia che $P \in \mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y$ $x$ $X\setminus Y$ $P$ $y$ $Y \setminus X$ $P$ $x$ $y$ $X \cap Y$ $M_\cap$ $P$ $x$ sono in , il percorso ha lunghezza pari e poiché si tratta di un percorso alternato, il primo o l'ultimo bordo appartiene a . Pertanto corrisponde a o , il che contraddice la definizione e dimostra l'affermazione. $y$ $A$ $P$ $M_\cap$ $M_\cap$ $x$ $y$

Sia e È chiaro che

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cap)$

M_{Y} = (P_{X} \cap M_{\cap}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cup}) .

$M_Y = (\mathcal{P}_X \cap M_\cap) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cup).$

M_{X} \cup M_{Y} = M_{\cap} \cup M_{\cup}

$M_X \cup M_Y = M_\cap\cup M_\cup$ e

. Per dimostrare il teorema resta da dimostrare che

sono corrispondenze valide per

rispettivamente. Per vedere che

è una corrispondenza valida per

osserva innanzitutto che nessun vertice di

è associato a

M_{X} \cap M_{Y} = M_{\cap} \cap M_{\cup}

$M_X \cap M_Y = M_\cap \cap M_\cup$

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

M_{X}

$M_X$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

poiché

non interseca

secondo la rivendicazione 1 e

non interseca

per definizione. Pertanto,

utilizza solo vertici di

. In secondo luogo, osservare che ogni vertice

è abbinato al massimo da un bordo di

poiché altrimenti

appartiene a due bordi di

oa due bordi di

, contraddicendo la definizione. Ciò dimostra che

M_{X}

$M_X$

P_{X}

$\mathcal{P}_X$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{\cap}

$M_\cap$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

X \cup B

$X \cup B$

x \in X

$x\in X$

M_{X}

$M_X$

x

$x$

M_{\cup}

$M_\cup$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{X}

$M_X$ è una corrispondenza valida per

; mostrare che

è un abbinamento valido per

è simile.

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

M_{Y}

$M_Y$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

— George Ottaviano Rabanca
fonte

Questo sembra fantastico! Come suggerimento minore: le definizioni di

non sono simmetriche, quindi la tua affermazione finale che "

... è simile" non è immediata. È più chiaro (penso) se lasci che

denoti i componenti collegati che non toccano alcun vertice in

, e quindi imposta

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

M_{Y}

$M_Y$

C^{'} ≐ C ∖ P_{X} ∖ P_{Y}

$\mathcal{C'} \doteq \mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X \setminus \mathcal{P}_Y$

X Δ Y

$X \Delta Y$

sono gli stessi con

scambiati e quindi l'ultimo

cambiato in

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup (P_{Y} \cap M_{\cap}) \cup (C^{'} \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup (\mathcal{P}_Y \cap M_\cap) \cup (\mathcal{C'} \cap M_\cap)$

M_{Y}

$M_Y$

X

$X$

Y

$Y$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{\cup}

$M_\cup$

— Andrew Morgan,