Un oracolo casuale può cambiare quali problemi del TFNP sono mediamente difficili?

Ho pensato alla seguente domanda in
varie occasioni da quando ho visto questa domanda sulla crittografia .

Domanda

Sia $R$ una relazione TFNP . Un oracolo casuale può aiutare P / poli
a spezzare $R$ con probabilità non trascurabile? Più formalmente, $\newcommand{\Pr}{\operatorname{Pr}} \newcommand{\E}{\operatorname{\mathbb{E}}} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\Good}{\mathsf{Good}}$

per tutti gli algoritmi P / poly , è trascurabile $A$ $\Pr_x [R(x, A(x))]$

implica necessariamente questo

per quasi tutti o racles , per ogni p / poly-oracolo algoritmi , è trascurabile $\O$ $A$ $\Pr_x [R(x, A^\O(x))]$

Formulazione alternativa

L'insieme pertinente di oracoli è (quindi misurabile), quindi prendendo controproducente e applicando la legge zero-uno di Kolmogorov , la seguente formulazione è equivalente a quella originale. $G_{\delta\sigma}$

per quasi tutti o racles , esiste un P / poly -oracolo algoritmo tale che non è trascurabile $\O$
$A$ $\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$

implica necessariamente questo

esiste un algoritmo P / poly tale che non è trascurabile $A$ $\Pr_x [R(x,A(x))]$

Il caso uniforme

Ecco una prova per la versione uniforme :

Esistono solo molti algoritmi di oracle PPT, quindi per additività numerabile dello null [ideale] [8], esiste un algoritmo PPT tale che per un insieme non nullo di oracoli , non è trascurabile. Sia un tale algoritmo oracolare. $A$ $\O$
$\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$ $B$

Allo stesso modo, sia un numero intero positivo tale che per un insieme non nullo di oracoli , è infinitamente-spesso almeno , dove è la lunghezza dell'input. Con il contrapposto di Borel-Cantelli , è infinito. $c$ $\O$
$\Pr_x[R(x,B^\O(x))]$ $n^{-c}$ $n$
$\sum_{n=0}^{\infty} \Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x))] \right]$

Con il test di confronto , infinitamente spesso . $\Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in \{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x)) \right] \geq n^{-2}$

Sia l'algoritmo PPT che [simula l'oracolo] [12] e fa funzionare con quell'oracolo simulato. $S$ $B$

Correggi e lascia che sia l'insieme di oracoli tale che . $n$ $\Good$ $\O$ $n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))]$

Se non è null allora . $\Good$

\begin{matrix} \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot n^{- c} \\ = \\ \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot E_{O} [n^{- c}] \\ \leq \\ \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))] ∣ O \in G o o d] \\ = \\ E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [O \in G o o d and R (x, B^{O} (x))]] \\ \leq \\ E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))]] \\ = \\ \Pr_{O, x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))] \\ = \\ \Pr_{x \in {0, 1}^{n}, O} [R (x, B^{O} (x))] \\ = \\ E_{x \in {0, 1}^{n}} [\Pr_{O} [R (x, B^{O} (x))]] \\ = \\ E_{x \in {0, 1}^{n}} [\Pr [R (x, S (x))]] \\ = \\ \Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, S (x))] \end{matrix}

$\begin{matrix} \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot n^{-c} \\ = \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O}[n^{-c}] \\ \leq \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O} \left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \mid \O \in \Good \right] \\ = \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [\O \in \Good \text{ and } R(x,B^\O(x))] \right] \\ \leq \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{\O, x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n, \O} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr_{\O}[R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr[R(x,S(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,S(x))] \end{matrix}$

Poiché infinitamente spesso, non è trascurabile. $\Pr_{\O} [\O\in \Good] \geq n^{-2}$ $\Pr_x[R(x,S(x))]$

Pertanto vale la versione uniforme . La dimostrazione usa criticamente il fatto che ci
sono solo numerosi algoritmi di Oracle PPT . Questa idea non funziona nel
caso non uniforme, poiché esistono molti algoritmi P / poly continuum.

— Comunità
fonte

Non penso che questa sia davvero una domanda sugli oracoli. Poiché è indipendente da , puoi anche dare accesso a una stringa casuale. La domanda è quindi: la casualità aumenta la potenza dei circuiti polivalenti. La risposta è "no", poiché se avesse dato un accesso corretto a una stringa casuale, allora, con un argomento mediato, esisterebbe una particolare impostazione della stringa casuale con cui potrebbe fare bene e quindi potremmo anche cablare quella stringa nel circuito di

O

$\mathcal{O}$

R

$R$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— Adam Smith,

@AdamSmith: "Dato che è indipendente da , puoi anche dare accesso a una stringa casuale" è l'intuizione, ma non vedo alcun modo di trasformarlo in una prova.

O

$\mathcal{O}$

R

$R$

A

$A$

@Adam, c'è un altro quantificatore che è importante. Penso che sia più facile osservare la negazione: è possibile che per quasi ogni oracolo esista un avversario non uniforme che può usare l'oracolo per interrompere il problema di ricerca?

— Kaveh,

Vedo. Stavo rispondendo a una domanda diversa. Dispiace per la confusione.

— Adam Smith,

@domotorp: ora dovrebbero essere riparati. (La mia ipotesi migliore per il motivo che è successo è il uso di collegamenti numerati, piuttosto che i collegamenti in linea.)

$\hspace{1.05 in}$

No al mio titolo e sì al corpo della mia domanda. Questo infatti si generalizza immediatamente
ad ogni gioco di lunghezza polinomiale che non utilizza il codice degli avversari.

Nota che userò per gli avversari, piuttosto che , in modo da corrispondere alla notazione di Teorema 2 . $C$ $A$

Supponiamo che per quasi tutti gli oracoli , esiste un algoritmo P / poly oracle tale che non è trascurabile. $\mathcal{O}$
$C$ $\operatorname{Pr}_x\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

Per quasi tutti gli oracoli , esiste un intero positivo d tale che esiste una sequenza di circuiti di dimensioni al massimo d + n ^d tale che è infinitamente-spesso maggiore di . $\mathcal{O}$

$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$

Per additività numerabile, esiste un intero positivo d tale che per un insieme non nullo di oracoli esiste una sequenza di circuiti di dimensione al massimo d + n ^d tale che è infinitamente-spesso maggiore di . $\mathcal{O}$
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$

Sia j tale annuncio e sia z l'algoritmo dell'oracolo (non necessariamente efficiente) che
accetta n come input e genera il circuito lessicografico dell'oracolo meno lessicografico al massimo j + n che massimizza . Con il contrappositivo di Borel-Cantelli , $^{\hspace{.03 in}j}$
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right) \: < \: \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\hspace{-0.05 in}\bigg[\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.03 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right) < \operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]\hspace{-0.06 in}\bigg] \;\;\;$ per infinitamente molti n.

Per tale n,

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; = \; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \cdot \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}\hspace{.02 in},\hspace{.04 in}x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

.

Sia l'algoritmo dell'algoritmo che accetta 2 input, uno dei quali è , e fa come segue: $A$ $n$

Scegli una stringa casuale n-bit . Tentativo di [analizzare l'altro ingresso come circuito oracolare ed eseguire quel circuito oracolare sulla stringa n-bit]. Se ciò ha esito positivo e l'uscita del circuito dell'oracolo soddisfa R (x, y), quindi l'uscita 1, altrimenti l'uscita 0. (Notare che non è solo l'avversario.) Per infinitamente molti n, . Lascia che p sia come nel Teorema 2 e imposta $x$

$y$

$A$
$\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \:\:\:\:$
$\;\;\; f \: = \: 2\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}n^{(2+j)\cdot 2} \:\:\:\:$ .

Secondo il Teorema 2 , esiste una funzione oracolo tale che con come in quel teorema, sepoi $\mathcal{S}$ $\mathcal{P}$
$\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)-\left(\hspace{-0.04 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)}$
$= \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in} \cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)} \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)}$
$< \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right]-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)} \; \leq \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{P}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ .

Per n tale che: $\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$

In particolare, esiste un circuito oracolare di dimensioni al massimo j + n e un incarico di lunghezza al massimo f tale che con tale ingresso e precampionamento, probabilità s' di emettere è maggiore di . I circuiti Oracle di dimensioni al massimo j + n possono essere rappresentati con bit poly (n), quindi per p è delimitato sopra da un polinomio in n, il che significa che f è anche delimitato sopra da un polinomio in n. $\big[$ $C$ $^{\hspace{.03 in}j}\big]$
$\big[$ $\big]$
$A$ $1$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$
$^{\hspace{.03 in}j}$

Per costruzione di , ciò significa che ci sono circuiti oracolari di dimensioni al massimo j + n e un incarico di lunghezza polinomiale tale che, quando eseguito con quel pre-campionamento, la probabilità dei circuiti di trovare una soluzione è maggiore di . Poiché tali circuiti non possono effettuare query più lunghe di j + n $A$ $^{\hspace{.03 in}j}$
$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ $^{\hspace{.03 in}j}$ bit, input preimpostati più lunghi di quello possono essere ignorati, quindi tale pre-campionamento può essere simulato in modo efficiente e perfetto con un oracolo casuale e bit hard-coded. Ciò significa che esistono circuiti oracolari di dimensioni polinomiali tali che con un oracolo casuale standard, la probabilità dei circuiti di trovare una soluzione è maggiore di . A sua volta, un simile oracolo casuale può a sua volta essere simulato in modo efficiente e perfetto con semplici bit casuali ordinari, quindi esistono circuiti probabilistici non- Oracle di dimensioni polinomiali la cui probabilità di trovare una soluzione è maggiore di $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ . A sua volta, mediante casualità ottica codificante, esistono circuiti deterministici (non oracolo) di dimensioni polinomiali la cui probabilità (sulla scelta di x) di trovare una soluzione è maggiore di . Come mostrato in precedenza in questa risposta, ci sono infiniti n tali che, $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ $\;\;\;$ quindi esiste un polinomio tale

la sequenza la cui ennesima voce è il meno lessicograficamente
[circuito C di dimensioni delimitato sopra da quel polinomio] che massimizza $\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.04 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

è un algoritmo P / poly la cui probabilità (rispetto alla scelta di x) di trovare una soluzione non è trascurabile.

Pertanto le implicazioni sono sempre nel corpo della mia domanda.

Per ottenere lo stesso implicazioni per gli altri giochi polinomiale di lunghezza, basta
cambiare di questa prova di per renderlo avere l'oracolo-circuiti di ingresso giocare il gioco. $A$