ALogTime! = PH è difficile da provare (e sconosciuto)?

Lance Fortnow ha recentemente affermato che provare L! = NP dovrebbe essere più facile che provare P! = NP :

Separare NP dallo spazio logaritmico. Ho dato quattro approcci in un sondaggio pre-blog del 2001 sulla diagonalizzazione (sezione 3), sebbene nessuno abbia fatto una panoramica. Dovrebbe essere molto più facile che separare P da NP.

La sezione 3 dell'indagine collegata afferma che non ci sono risultati significativi sul collasso dell'oracolo:

Mentre la domanda P! = NP rimane abbastanza formidabile, la domanda L! = NP sembra molto più trattabile. Non abbiamo motivo di pensare che questa domanda sia difficile. La mancanza di buoni modelli di relativizzazione per lo spazio significa che non abbiamo un modello di oracolo significativo in cui crollano L e NP. Anche poiché L è una classe uniforme, non si applicano le limitazioni di Razborov-Rudich [RR97].

Una domanda sulle barriere di relativizzazione note a L! = NP in questo sito ha ottenuto una risposta sottolineando che il problema TQBF completo di PSPACE può essere usato come oracolo per ottenere un tale collasso. Anche un'obiezione sul fatto che si trattasse di un modello di oracolo significativo sembra avere una risposta.

Ma anche se capirei perché "non abbiamo un modello di oracolo significativo in cui il collasso di L e NP" dovrebbe essere considerato un'affermazione corretta, avrei comunque i miei dubbi sul fatto che provare L! = NP sia più fattibile che provare P! = NP. Se provare L! = NP dovrebbe essere davvero più semplice che provare P! = NP, provare ALogTime! = PH dovrebbe essere definitivamente a portata di mano. (L'articolo del sondaggio suggerisce la possibilità di separare da ) Immagino che ALogTime! = PH sia ancora aperto e vorrei sapere se ci sono buone ragioni per aspettarsi che sarà difficile dimostrarlo. $\Sigma_2^p$ $L$

cc.complexity-theory reductions relativization

— Thomas Klimpel
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Lance Fortnow 7:03 AM, 13 maggio 2016 : "Permettimi di riformulare il mio punto. Lascia che AP alterni il tempo polifunzionale (noto per essere PSPACE non correlato e quindi diverso da L). Quindi non esiste un modello di relativizzazione noto che faccia entrambi L = NP per qualche oracolo ma separa L da AP per tutti gli oracoli ".

— Thomas Klimpel,

Risposte:

$L$ $NP$ $L = NL$ $L^A = NL^A$ $A$

$NC1$ $ALogTime = NP$ $NC1$ $NP$ $NC1$

Oltre a ciò, non conosco ragioni particolari per ritenere che sia "difficile da dimostrare" oltre all'osservazione che molte persone hanno provato e nessuna è ancora riuscita.

— Ryan Williams
fonte

L = N L

$L = NL$

L^{A} = N L^{A}

$L^A = NL^A$

A

$A$

L

$L$

Credo che ci sia una prova della dichiarazione nel documento che ho collegato. Per quanto riguarda la tua seconda frase: stai chiedendo perché Fortnow dice che Razborov-Rudich non si applica? In tal caso, il suo punto è che la barriera delle prove naturali, come comunemente intesa, si applica solo se il modello a cui ti limiti in basso è non uniforme, ad esempio P / poli.

— Ryan Williams,

Ah, ho letto male: ho pensato che la barriera che non si applicava era la relativizzazione, non prove naturali, scusa. Ciò che intendevo chiedere era: perché la relativizzazione è una barriera per P vs NP ma non per L vs NL, dal punto di vista morale? (Da qui la non correlazione della domanda.)

— Michaël Cadilhac,

In breve, è perché il modello Oracle RST non consente di eseguire passaggi non deterministici a meno che il nastro Oracle non sia vuoto. (Le ragioni sono sottili; in pratica alcuni risultati non si relativizzeranno senza di essa.) L'argomento reale è più complicato ...

— Ryan Williams,

Un'idea ingenua per dimostrare ALogTime! = PH: il problema del valore della formula booleana è completo per ALogTime con riduzioni del tempo di log deterministiche . Quindi se ALogTime = PH, quindi PH = coNP = ALogTime, e quindi il problema del valore della formula booleana sarebbe completo con riduzioni del tempo di log deterministiche per coNP. Quindi ci sarebbe una riduzione deterministica del tempo di log dal problema tautologico al problema del valore della formula booleana.

Le riduzioni deterministiche del tempo di log dovrebbero essere innocue, non possono contribuire molto alla soluzione del problema tautologico. Sono solo una bella formalizzazione che significa che una riduzione può funzionare solo a livello locale. Quindi l'attività rimanente è capire perché il problema della tautologia non può essere trasformato in un problema di valore della formula booleana con riduzioni molto locali. Continuo a non vedere come farlo, ma almeno il compito rimanente è molto chiaro, quindi ho almeno la possibilità di capire perché sia difficile (o no).

— Thomas Klimpel
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