Complessità parametrizzata da P a NP-hard e viceversa

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Sto cercando esempi di problemi parametrizzati da un numero , in cui la durezza del problema non è monotona in . La maggior parte dei problemi (nella mia esperienza) ha una transizione a fase singola, ad esempio -SAT ha una transizione a fase singola da (dove il problema è in P) a (dove il il problema è NP-completo). Sono interessato a problemi in cui vi sono transizioni di fase in entrambe le direzioni (da facile a difficile e viceversa) all'aumentare di . $k \in \mathbb{N}$ $k$ $k$ $k \in \{1,2\}$ $k \ge 3$ $k$

La mia domanda è in qualche modo simile a quella posta a Hardness Jumps in Computational Complexity , e in effetti alcune delle risposte sono rilevanti per la mia domanda.

Esempi di cui sono a conoscenza:

$k$ -colorabilità dei grafici planari: in P tranne quando , dove è NP-completo. $k=3$
Albero di Steiner con terminali : In P quando (collassa al percorso - più breve ) e quando (collassa a MST), ma NP-hard "in mezzo". Non so se queste transizioni di fase siano nitide (ad esempio, P per ma NP-difficile per ). Anche le transizioni di dipendono dalla dimensione dell'istanza di input, a differenza dei miei altri esempi. $k$ $k=2$ $s$ $t$ $k=n$ $k_0$ $k_0+1$ $k$
Conteggio delle assegnazioni soddisfacenti di una formula planare modulo : In P quando è un numero ~~primo di~~ Mersenne e # P-complete per la ~~maggior parte (?) /~~ Tutti gli altri valori di (da Aaron Sterling in questo thread ). Molte transizioni di fase! $n$ $n$ $n=2^k-1$ $n$
Rilevamento del sottografo indotto: il problema non è parametrizzato da un numero intero ma da un grafico. Esistono grafici (dove indica un certo tipo di relazione del sottografo), per cui determinare se per un dato grafico è in P per ma NP-completo per . (da Hsien-Chih Chang nella stessa discussione ). $H_1 \subseteq H_2 \subseteq H_3$ $\subseteq$ $H_i \subseteq G$ $G$ $i\in \{1,3\}$ $i=2$

— mikero
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Correzione minore per esempio (3): il problema è in se è un numero intero di tipo Mersenne, ovvero per un certo numero naturale ; non deve essere un numero primo. (Ad esempio, non è primo.) A meno che non sia in questa forma, il problema è # -completo.

P

$\mathsf{P}$

n

$n$

n = 2^{k} - 1

$n=2^k-1$

k

$k$

n

$n$

2^{11} - 1

$2^{11}-1$

n

$n$

P

$\mathsf{P}$

— Aaron Sterling,

Grazie @Aaron Sterling - Ho rivisto questo esempio in modo appropriato.

— mikero,

1

Esempio di correzione maggiore (3): le formule devono anche essere monotone, lette due volte e con clausole size , dove , per essere tracciabili. Ciò è stato dimostrato da Jin-Yi Cai e Pinyan Lu. Non è così che Valiant l'ha motivato. Ha fissato la dimensione della clausola su 3 e poi ha variato solo il modulo. Era noto per essere duro nella caratteristica 0. Valiant mostrava la durezza mod 2 e la trattabilità mod 7. La durezza mod 2 è la durezza non la durezza P Non so quale famiglia parametrica di problemi stai cercando di descrivere.

k

$k$

n = 2^{k} - 1

$n = 2^k - 1$

\otimes P = #_{2} P

$\otimes P = \#_2 P$

— Tyson Williams,

1

Per ulteriori informazioni al riguardo, compresi i riferimenti cartacei, vedere la storia di Holographic_algorithm # su Wikipedia.

— Tyson Williams,

Una preoccupazione per quanto riguarda ad esempio (4): Spero che dire che denotano essendo una realizzazione della -graph . Ma come possiamo dire che la piramide theta prisma ? Si noti che stiamo parlando di sottografi indotti e non sottografi.

H \subseteq G

$H \subseteq G$

G

$G$

s

$s$

H

$H$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

— Cyriac Antony

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Un campo con molta non monotonicità della complessità del problema è il testing delle proprietà. Sia l'insieme di tutti i grafici -vertex e chiama una proprietà del grafico. Un problema generico è determinare se un grafico ha la proprietà (cioè ) o è "lungi" dall'avere la proprietà in un certo senso. A seconda di cosa sia e di quale tipo di accesso alla query si abbia al grafico, il problema può essere piuttosto difficile. $\mathcal{G}_n$ $n$ $P \subseteq \mathcal{G}_n$ $G$ $P$ $G \in P$ $P$ $P$

Ma è facile vedere che il problema non è monotono, in quanto se abbiamo , il fatto che sia facilmente verificabile non implica che sia facilmente verificabile o che sia. $S \subset P \subset T$ $P$ $S$ $T$

Per vederlo, è sufficiente osservare che e sono entrambi banalmente testabili, ma che per alcune proprietà esistono forti limiti inferiori. $P = \mathcal{G}_n$ $P = \emptyset$

— Aaron Roth
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Potresti per favore menzionare (o indicare) un esempio non banale? Immagino ne conosca già alcuni. È anche interessante sapere se ci sono transizioni di fase da P NP P NP.

\to

$\to$

\to

$\to$

\to

$\to$

— Cyriac Antony

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Per un dato grafico e un intero , la -esima potenza di , indicata con , ha lo stesso vertice impostato in modo tale che due vertici distinti siano adiacenti in se la loro distanza in è a più . La potenza -th del problema del grafico diviso chiede se un dato grafico è la potenza -th di un grafico diviso. $G$ $k\ge 1$ $k$ $G$ $G^k$ $G^k$ $G$ $k$ $k$ $k$

Per , il problema è risolvibile in tempo lineare. Questo perché il riconoscimento dei grafici divisi è realizzabile in tempo lineare (ben noto). $k=1$
Per , il problema è NP-completo. Ciò è dimostrato da Lau e Corneil in Riconoscere poteri di intervallo, divisione e grafico cordale appropriati , SIAM J. Discrete Math., 18 (2004), 83-102 . $k=2$
Per , il problema è banale: solo i grafici completi sono potenze -esime di un grafico diviso. $k\ge 3$ $k$

— vb le
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Uno di questi problemi è la colorazione dei bordi dei grafici planari in cui il parametro è - grado massimo di un grafico. Quando o ci sono noti algoritmi polinomiali esatti ( vedi qui ), mentre per tali algoritmi non sono noti e non ci sono prove di durezza NP per questi casi . $\Delta$ $\Delta=2$ $\Delta\geqslant 7$ $3\leqslant\Delta\leqslant 6$

La domanda correlata è discussa qui .

— Oleksandr Bondarenko
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Determinare se un grafico ha una cricca dominante per: $G$

$diam(G)=1$ è banale - la risposta è sempre "sì"
$diam(G)=2$ è NP-completo
$diam(G)=3$ è NP-completo
$diam(G)\ge 4$ è banale - la risposta è sempre "no"

Il caso è dovuto a Brandstädt e Kratsch e il caso è annotato in un mio recente documento . $diam(G)=3$ $diam(G)=2$

— Austin Buchanan
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+1 bella risposta. Cos'è la cricca dominante?

— Mohammad Al-Turkistany,

1

Proprio come sembra - un set dominante che è anche una cricca .

— Austin Buchanan,

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È questo un esempio del fenomeno che stai cercando?

Considera il problema di k-Clique, dove k è la dimensione della cricca che stiamo cercando. Quindi il problema è "Esiste una cricca di dimensione k nel grafico G su n vertici?"

Per tutte le costanti k, il problema è in P. (L'algoritmo della forza bruta viene eseguito nel tempo .) Per valori elevati di k, ad esempio valori come n / 2, è NP-completo. Quando k si avvicina molto a n, come nc per qualche costante c, il problema è di nuovo in P perché possiamo cercare su tutti i sottoinsiemi di n vertici di dimensione nc e verificare se uno di essi forma una cricca. (Esistono solo tali sottoinsiemi, che è polinomialmente grande quando c è una costante.) $O(n^k)$ $O(n^c)$

— Robin Kothari
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Questo fenomeno è solo perché potremmo anche vedere k come min (k, nk) e risolvere k-clique o k-indept set (davvero lo stesso problema). Se pensiamo a 0 <k <= n / 2 per questo motivo, la complessità è strettamente crescente in k.

— Aaron Roth,

4

@Aaron: temo che il tuo argomento non sia corretto. Trovare una cricca di dimensioni n-k è molto diverso dal trovare un insieme indipendente di dimensioni k. Devi essere confuso dal fatto che trovare una cricca di dimensione k in un grafico G equivale a trovare un insieme indipendente di dimensione k nel complemento di G.

— Tsuyoshi Ito

Tsuyoshi: Sì, certo. Intendevo dire che WLOG, puoi assumere k <= n / 2, poiché in caso contrario, prendi il grafico del complemento e risolvi il problema per k '= nk. E, naturalmente, questo evidenzia che la complessità sta aumentando in k.

— Aaron Roth,

1

@Aaron: "In caso contrario, prendi il grafico del complemento e risolvi il problema per k '= nk." Questa è esattamente l' affermazione errata che sto cercando di obiettare. Consentitemi di ripetere ciò che ho detto: "trovare una cricca di dimensione k in un grafico G equivale a trovare un insieme indipendente di dimensione k nel complemento di G." Trovare una cricca di dimensione k in un grafico G non equivale a trovare una cricca di dimensioni n-k nel complemento di G.

— Tsuyoshi Ito

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Ah sì. :-) È stato sciocco, ritiro la mia obiezione. Quello che sta succedendo qui è solo che Binomial [n, k] = Binomial [n, nk], e quindi il tempo di esecuzione della ricerca esaustiva è monotono crescente per k <n / 2 e monotono decrescente per k> n / 2.

— Aaron Roth,

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Ecco un esempio che potrebbe essere del tipo che stai cercando. Il parametro non è un numero intero, è una coppia di numeri. (Anche se uno di essi può essere risolto per renderlo un problema di un parametro.)

Il problema è valutare il polinomio Tutte di un grafico G alle coordinate (x, y). Possiamo limitare le coordinate in numeri interi. Il problema è in P se (x, y) è uno dei punti (1, 1), (-1, -1), (0, -1), (-1,0) o soddisfa (x-1 ) (y-1) = 1. Altrimenti è # P-difficile.

L'ho preso dall'articolo di Wikipedia sul polinomio Tutte .

— Robin Kothari
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Che dire della questione del calcolo del permanente di una matrice modulo ? Per questo è facile (poiché permanente = determinante) e Valiant (in " La complessità del calcolo del permanente ") ha mostrato che può essere calcolato modulo nel tempo per con una variante modificata dell'eliminazione gaussiana. Ma per che non è una potenza di , è UP-Hard. $k$ $k=2$ $2^d$ $O(n^{4d-3})$ $d \geq 2$ $k$ $2$

— Kevin Costello
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Un altro problema con questo fenomeno è il minimo problema -SPANNER su grafici divisi. $t$

Per una costante , un -spanner di un grafo connesso è collegato spanning sottografo di tale che per ogni coppia di vertici ed , la distanza tra ed in è al massimo volte la loro distanza in . Il problema MIN -SPANNER richiede una chiave con un numero minimo di spigoli di un dato grafico. $t$ $t$ $G$ $H$ $G$ $x$ $y$ $x$ $y$ $H$ $t$ $G$ $t$ $t$

Un grafico diviso è un grafico il cui set di vertici può essere partizionato in una cricca e in un set indipendente.

In questo articolo è stato dimostrato che MINIMUM 2-SPANNER su grafici divisi è NP-difficile mentre per ogni , MINIMUM SPANNER è facile su grafici divisi. $t \ge 3$ $t$

— user13136
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Esempio ben noto è colorazione -edge. $k$

È decidibile in tempo polinomiale se altrimenti è completo . $k \ne \Delta$ $NP$

Per i grafici cubici, decidere l'esistenza della colorazione del bordo usando:

$k=2$ colori è banale poiché la risposta è sempre no.
$k=3$ colori è completo $NP$
colori è banale poiché la risposta è sempre sì. $k \ge 4$

Holyer, Ian (1981), "La completezza NP della colorazione dei bordi", SIAM Journal on Computing 10: 718–720

http://en.wikipedia.org/wiki/Edge_coloring

— Mohammad Al-Turkistany
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Potresti, per favore, aggiungere un riferimento?

— Oleksandr Bondarenko,

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$\to$ $\to$ $\to$ $\to \cdots$

$n$ $n$ $n$ $n$

La prova è stata annunciata in questo documento .

— user13136
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$k$ $k$

$G$ $k=1$ $G$ $\sf NP$ $k \in \{2,3\}$ $\sf P$ $k$

Vedi Chandran, L. Sunil, Deepak Rajendraprasad e Marek Tesař. "Colorazione arcobaleno di grafici divisi." arXiv prestampa arXiv: 1404.4478 (2014).

— Juho
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$U\subseteq V(G)$ $G$ $G[U]$ $G-U$

Decidere se un grafico del diametro 1 ha un cutset disconnesso è banale. Il problema diventa NP-difficile su grafici di diametro 2, vedere questo documento ed è di nuovo facile su grafici di diametro almeno 3, vedere questo documento .

— user13136
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