Qual è la classe di complessità "più piccola" per cui è noto un limite di circuito superlineare?

Ci scusiamo per aver posto una domanda che deve sicuramente trovarsi in molti riferimenti standard. Sono curioso di sapere esattamente la domanda nel titolo, in particolare sto pensando ai circuiti booleani, senza limiti di profondità. Metto le virgolette "più piccole" per consentire la possibilità che ci siano più classi diverse, non conosciute per includersi, per le quali è noto un limite superlineare.

Credo che le classi più piccole conosciute siano $S_2P$ (Cai, 2001), $PP$ (Vinodchandran, 2005) e $(MA \cap coMA)/1$ (Santhanam, 2007). Tutti questi sono noti per non essere in $SIZE(n^k)$ per ogni costante $k$ .

Il risultato più forte di cui sono a conoscenza è che per tutti i k c'è un problema in che richiede circuiti di dimensione Ω ( n k ) .$S_2^P$$\Omega(n^k)$

è una classe contenuta in Z P P N P , che è essa stessa contenuta in Σ P 2 ∩ Π P $S_2^P$$ZPP^{NP}$$\Sigma_2^P \cap \Pi_2^P$ . (Lo zoo della complessità ha più informazioni su questa classe.)

Il risultato deriva dalla versione più forte del teorema di Karp-Lipton dovuta a Cai .

Una rapida dimostrazione di come questo deriva dal teorema di KL: in primo luogo, se SAT richiede circuiti di dimensioni super-polinomiali, abbiamo finito, poiché abbiamo mostrato un problema in che necessita di circuiti di dimensioni super-polinomiali. Se SAT ha circuiti di dimensioni polinomiali, quindi con la versione più forte del teorema di Karp-Lipton, PH collassa su S P 2 . Sappiamo che PH contiene problemi di questo tipo (secondo il risultato di Kannan), e quindi S P 2 contiene un tale problema.$S_2^P$$S_2^P$$S_2^P$

Per i circuiti generali, sappiamo che ci sono problemi in che richiedono circuiti di dimensioni Ω ( n k ) , ciò è dovuto a Ravi Kannan (1981) e si basa sul suo risultato che P $\Sigma^p_2 \cap \Pi^p_2$$\Omega(n^k)$$PH$ contiene tali problemi .

Penso che i migliori ribassi per siano ancora circa 5 $NP$$5n$ .

Vedi il libro di Arora e Barak, pagina 297. Richard J. Lipton aveva un post sul suo blog su questi risultati, vedi anche questo .

Per raffinare la risposta, per ogni k ≥ 1 e c , sia * Il problema ricerca 3-SAT non ha ~ O ( n k ) i circuiti, o * Qualche problema in O 2 P con il tempo (e la dimensione testimone) limitato a ˜ O ( n k 2 ) non ha circuiti io- O ( n k ( log n ) c ) (io significa infinitamente spesso).$\mathrm{S}_2\mathrm{P}$$k≥1$$c$
$\tilde{O}(n^k)$
$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2})$$O(n^k (\log n)^c)$

Se al posto del problema di ricerca 3-SAT, abbiamo usato il problema di decisione, time ˜ O ( n k 2 + k ) è sufficiente, e se abbiamo usato il problema di decisione per bit i nell'assegnazione lessicograficamente minima per 3-SAT , ˜ O ( n min ( k 2 + k , k 3 )$\mathrm{O}^2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2+k})$$i$$\tilde{O}(n^{\min(k^2+k,k^3)})$ sufficiente.

Un problema decisionale non calcolabile con i circuiti io- è il numero minimo N (interrogato utilizzando le sue cifre binarie) che non è la tabella di verità di un circuito con n k ⌊ ( log n ) c + 1 ⌋ cancelli. Se NP è in P / poli, il problema ha un testimone ignoto inconfutabile costituito da quanto segue: (1) N (2) un circuito che ha dato N ′ < N , mostra che N ′ ha un circuito sufficientemente piccolo.$O(n^k (\log n)^c)$$N$$n^k ⌊(\log n)^{c+1}⌋$
$N$
$N' < N$$N'$
(3) (usato solo per associato) un verificatore che ci consente di eseguire il circuito avversario per (2) soloO(1$\tilde{O}(n^{k^3})$$O(1)$ volte (sempre 1 bit per corsa).

In una nota separata, per ogni , ci sono problemi di decisione in (MA ∩ coMA) / 1 che non hanno circuiti O ( n k ) . '/ 1' significa che la macchina riceve un po 'di consigli che dipende solo dalla dimensione dell'input. Inoltre, la stringa che Merlin invia può essere scelta per dipendere solo dalla dimensione di input (con questa restrizione, MA è un sottoinsieme di O 2 P ) e dalla complessità della consulenza Σ P 2 . La dimostrazione (Santhanam 2007) generalizza IP = PSPACE e PSPACE⊂P / poli ⇒ PSPACE = MA utilizzando un certo problema PSPACE ben educato e riempiendo gli ingressi per ottenere dimensioni minime del circuito che sono infinitamente spesso tra n k + $k$$O(n^k)$$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$Σ_2^P$$n^{k+1}$$n^{k+2}$$n$$n$