Per quali grafici l'albero DFS è sempre un percorso?

Per quali grafici non orientati sono tutti gli alberi di ricerca della prima profondità (per tutti i possibili vertici di partenza e per tutte le scelte di quali vicini devono cercare per primi) i percorsi diretti? Cioè, ogni albero DFS dovrebbe avere solo una foglia e ogni altro vertice dovrebbe avere esattamente un figlio.

Ad esempio, è vero per cicli, grafici completi e grafici bipartiti completi bilanciati.

Trovare un albero DFS che non sia un percorso è ovviamente in NP. È NP-completo o polinomiale?

Ciò equivale alla proprietà che puoi costruire un percorso hamiltoniano prendendo avidamente un margine arbitrario ad ogni vertice. Alla ricerca dell'avido percorso hamiltoniano scoperto: costruire avidamente percorsi hamiltoniani, cicli hamiltoniani e massime foreste lineari , Tankusa e Tarsib, doi: 10.1016 / j.disc.2006.09.031 , che punta a grafici tracciabili a caso , Chartrand e Kronk, SIAM J. Appl. Matematica., 16 (4), 696–700, doi: 10.1137 / 0116056 che caratterizza questi grafici esattamente come i grafici che menzioni nella domanda.