Classi di complessità P / Poly vs Uniform

Non è noto se NEXP sia contenuto in P / poly. Infatti, provare che NEXP non è in P / poly avrebbe alcune applicazioni nella derandomizzazione.

Qual è la più piccola classe uniforme C per la quale si può dimostrare che C non è contenuto in P / poli?
Mostrare che il co-NEXP non è contenuto in P / poly avrebbe alcune conseguenze teoriche sulla complessità come nel caso di NEXP vs P / poly?

Nota: sono consapevole del fatto che $SP_2$ non è contenuto in $Size[n^k]$ per ogni costante fissa $k$ (questo è stato mostrato anche per MA con 1 bit di consiglio). Ma a questa domanda non mi interessano i risultati per fisso $k$ . Sono davvero interessato a classi diverse da P / Poly, anche se queste classi sono molto grandi.

complexity

— Springberg
fonte

Stai essenzialmente chiedendo un problema con limiti inferiori di dimensione superpolinomiale per circuiti generali.

— Kaveh,

{M A}_{e x p}

$\mathsf{MA}_\mathrm{exp}$ è noto per non essere in

P / p o l y

$\mathsf{P/poly}$ . Vedi l'articolo di Wikipediaper una breve prova.

— Robin Kothari,

P / poly è chiuso sotto il complemento, quindi contiene NEXP se e solo se contiene coNEXP.

— Emil Jeřábek,

Emil, Robin e Andrew, grazie per le tue risposte. Penso che la mia domanda possa essere considerata una risposta ora. Qualcuno lo scriverebbe in una risposta in modo che io possa accettarlo?

— Springberg,

Credo che

sia la più piccola classe uniforme con limiti inferiori superpolinomiali noti ( people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/nonrel.pdf ) e che

sia la più piccola con un polinomio inferiore arbitrario limiti ( citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/… ).

M A_{e x p}

$MA_{exp}$

O_{2}^{P}

$O^P_2$

— Alex Golovnev,

$\let\mr\mathrm$ Ci sono diversi risultati in letteratura che affermano che una certa classe soddisfa per qualsiasi , e di solito è semplice riempirli per mostrare che a malapena la versione superpolinomiale di non è in . $C$ $C\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$ $C$ $\mr{P/poly}$

Lasciami dire che è un limite superpolinomiale se è costruibile nel tempo, e . Ad esempio, è un limite superpolinomiale. In effetti, un esercizio istruttivo mostra che se è una funzione calcolabile monotona illimitata, esiste un limite superpolinomiale tale che . $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ $f(n)=n^{\omega(1)}$ $n^{\log\log\log\log n}$ $g(n)$ $f$ $f(n)\le n^{g(n)}$

Innanzitutto, la diagonalizzazione diretta mostra che per qualsiasi . Lo stesso argomento fornisce: $\Sigma_4^P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

Se è un limite superpolinomiale, allora . $f$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

Schizzo di prova: per qualsiasi , sia il primo circuito lessicografico di dimensione che calcola una funzione booleana in variabili non calcolabili da un circuito di dimensione . Quindi, la lingua definita da funziona. $n$ $C_n$ $2f(n)$ $n$ $<f(n)$ $L$ $x\in L\iff C_{|x|}(x)=1$

Un noto miglioramento afferma che per qualsiasi . Allo stesso modo, $S_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

Se è un limite superpolinomiale, allora . $f$ $S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

Schizzo prova: Se no, allora in particolare , quindi . Con un argomento di riempimento, , quod non . $\mr{NP}\subseteq S_2\mr P\subseteq\mr{P/poly}$ $\mr{PH}=S_2\mr P$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq\mr{P/poly}$

Le lezioni ignare fanno ancora meglio. Tenendo conto dell'obiezione sollevata da Apoorva Bhagwat, facciamo . Quindi per qualsiasi , e lo stesso argomento produce: $\mr{NLin=NTIME}(n)$ $\mr{NLin}\cup O_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

Se è un limite superpolinomiale, allora . $f$ $\mr{NLin}\cup O_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

Abbozzo Dimostrazione: Se , poi da imbottitura, , il che implica . Quindi procediamo come prima. $\mr{NLin\subseteq P/poly}$ $\mr{NP\subseteq P/poly}$ $\mr{PH}=O_2\mr P$

Ci sono anche risultati che coinvolgono MA. Il risultato spesso menzionato che è un eccesso. Santhanam ha dimostrato per qualsiasi , e un argomento simile fornisce: $\mr{MA\text-EXP\nsubseteq P/poly}$

p r o m i s e - M A \cap p r o m i s e - c o M A ⊈ S I Z E (n^{k})

$\mr{promise\text-MA\cap promise\text-coMA\nsubseteq SIZE}(n^k)$

k

$k$

Se è un limite superpolinomiale, allora $f$
$p r o m i s e - M A - T I M E (f (n)) \cap p r o m i s e - c o M A - T I M E (f (n)) ⊈ P / p o l y .$ $\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}.$
Schizzo di prova: dal Lemma 11 di Santhanam (che è una versione più nitida del fatto standard che con un prover PSPACE), esiste un linguaggio completo per PSPACE e un oracolo randomizzato Poly-time TM tale che sull'input , richiede solo interrogazioni oracolari di lunghezza; se , allora accetta con probabilità ; e se , allora per qualsiasi oracolo , accetta con probabilità . $\mr{PSPACE=IP}$ $L$ $M$ $x$ $M$ $|x|$ $x\in L$ $M^L(x)$ $1$ $x\notin L$ $A$ $M^A(x)$ $\le1/2$

Per un polinomio monotono adatto , sia sia il problema di promessa definito da Sia una riduzione polinomiale di al suo complemento e sia il problema della promessa $p$ $A=(A_{\mr{YES}},A_{\mr{NO}})$
$\begin{aligned} (x, s) \in A_{Y E S} & ⟺ \exists circuit C (p (| C | + | x |) \leq f (| s |) \land Pr [M^{C} (x) accepts] = 1), \\ (x, s) \in A_{N O} & ⟺ \forall circuit C (p (| C | + | x |) \leq f (| s |) \to Pr [M^{C} (x) accepts] \leq 1 / 2) . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in A_{\mr{YES}}&\iff\exists\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\land\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]=1\bigr),\\ (x,s)\in A_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff\forall\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\to\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]\le1/2\bigr). \end{align}$ $h(x)$ $L$ $B=(B_{\mr{YES}},B_{\mr{NO}})$ $\begin{aligned} (x, s) \in B_{Y E S} & ⟺ (x, s) \in A_{Y E S} \land (h (x), s) \in A_{N O}, \\ (x, s) \in B_{N O} & ⟺ (x, s) \in A_{N O} \land (h (x), s) \in A_{Y E S} . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in B_{\mr{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{YES}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{NO}},\\ (x,s)\in B_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{NO}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{YES}}. \end{align}$ Se è scelto adeguatamente grande, Quindi, supponiamo per contraddizione che abbia circuiti di dimensioni polinomiali, diciamo, . Indichiamo la dimensione del circuito più piccolo che calcola sugli ingressi di lunghezza e mettiamo ; più precisamente, Poi $p(n)$ $B \in p r o m i s e - M A - T I M E (f (n)) \cap p r o m i s e - c o M A - T I M E (f (n)) .$ $B\in\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n)).$ $B$ $B\in\mr{SIZE}(n^k)$ $s(n)$ $L$ $n$ $t(n)=f^{-1}(p(s(n)))$ $t (n) = min {m : p (s (n)) \leq f (m)} .$ $t(n)=\min\{m:p(s(n))\le f(m)\}.$ $x\mapsto(x,1^{t(n)})$ è una riduzione da a , quindi , che significa Ma poiché è superpolinomiale, abbiamo . Questo dà una contraddizione per sufficientemente grande. $L$ $B$ $L\in\mr{SIZE}(t(n)^k)$ $s (n) \leq t (n)^{k} .$ $s(n)\le t(n)^k.$ $f$ $t(n)=s(n)^{o(1)}$ $n$

Se preferiamo un risultato con una versione non promettente di MA, Miltersen, Vinodchandran e Watanabe si sono dimostrati per un mezzo esponenziale funzione . Possiamo migliorarlo in due modi: in primo luogo, contiene limiti per qualsiasi costante , e in secondo luogo, vale per classi ignare. Qui, una funzione è, in termini approssimativi, una funzione tale che

M A - T I M E (f (n)) \cap c o M A - T I M E (f (n)) ⊈ P / p o l y

$\mr{MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

f

$f$

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

k

$k$

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

f

$f$

\underset{k}{\underset{⏟}{f \circ \dots \circ f}} = \exp

$\underbrace{f\circ\dots\circ f}_k=\exp$ . Vedi il documento Miltersen – Vinodchandran – Watanabe e riferimenti in esso per la definizione precisa; coinvolge una famiglia ben educata di funzioni ben , , tale che , ed . Inoltre, se e , allora . Poi abbiamo:

e_{α} (x)

$e_\alpha(x)$

α \in R_{+}

$\alpha\in\mathbb R_+$

e_{0} (x) = x

$e_0(x)=x$

e_{1} (x) = e^{x} - 1

$e_1(x)=e^x-1$

e_{α + β} = e_{α} \circ e_{β}

$e_{\alpha+\beta}=e_\alpha\circ e_\beta$

f (n) \leq e_{α} (p o l y (n))

$f(n)\le e_\alpha(\mr{poly}(n))$

g (n) \leq e_{β} (p o l y (n))

$g(n)\le e_\beta(\mr{poly}(n))$

f (g (n)) \leq e_{α + β} (p o l y (n))

$f(g(n))\le e_{\alpha+\beta}(\mr{poly}(n))$

$\mr{OMA\text-TIME}(e_\alpha)\cap\mr{coOMA\text-TIME}(e_\alpha)\nsubseteq\mr{P/poly}$ per qualsiasi . $\alpha>0$

Schizzo di prova: assumere diversamente. Correggi un numero intero tale che . Vorrei abbreviare Per riempimento, abbiamo per qualsiasi . Inoltre, usando ad esempio il Lemma 11 di Santhanam sopra, abbiamo l'implicazione Dal momento che banalmente , un'applicazione ripetuta di (1) e (2) mostra , $k$ $1/k<\alpha$
$O c O M T (f) = O M A - T I M E (p o l y (f (p o l y (n))) \cap c o O M A - T I M E (p o l y (f (p o l y (n))) .$ $\mr{OcOMT}(f)=\mr{OMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n)))\cap\mr{coOMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n))).$ $\begin{matrix} (1) & O c O M T (e_{β + 1 / k}) \subseteq S I Z E (e_{β} (p o l y (n))) \end{matrix}$ $\tag{1}\mr{OcOMT}(e_{\beta+1/k})\subseteq\mr{SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))$ $\beta\ge0$ $\begin{matrix} (2) & P S P A C E \subseteq S I Z E (e_{β} (p o l y (n))) ⟹ P S P A C E \subseteq O c O M T (e_{β}) . \end{matrix}$ $\tag{2}\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))\implies\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_\beta).$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_1)$ $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-1)/k}(\mr{poly}(n)))$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-1)/k})$ , , e così via. Dopo passi, raggiungiamo Usando ancora una volta il padding, otteniamo che contraddice i risultati sopra , poiché è un limite superpolinomiale. $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-2)/k}(\mr{poly}(n)))$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-2)/k})$ $k$ $P S P A C E \subseteq P / p o l y and P S P A C E = O M A \cap c o O M A .$ $\mr{PSPACE\subseteq P/poly}\qquad\text{and}\qquad\mr{PSPACE=OMA\cap coOMA}.$ $D S P A C E (e_{1 / k}) \subseteq O c O M T (e_{1 / k}) \subseteq P / p o l y,$ $\mr{DSPACE}(e_{1/k})\subseteq\mr{OcOMT}(e_{1/k})\subseteq\mr{P/poly},$ $e_{1/k}$

— Emil Jeřábek
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Poiché nessuno ha inviato una risposta, risponderò io stesso alla domanda con i commenti pubblicati nella domanda originale. Grazie a Robin Kothari, Emil Jerabek, Andrew Morgan e Alex Golovnev.

$MA_{exp}$ sembra essere la classe uniforme più piccola con limiti inferiori superpolinomiali noti.

$O_2^P$ sembra essere la classe più piccola conosciuta senza circuiti di dimensione per ogni fisso . $n^k$ $k$

Da diagonalizzazione, ne consegue che per ogni super-polinomiale (e spazio costruibile) funzione , non ha circuiti polinomiale-size. contro è ancora aperto. $s$ $DSPACE[s(n)]$ $PSPACE$ $P/poly$

$P/poly$ è chiuso sotto il complemento, quindi contiene se e solo se contiene . $NEXP$ $coNEXP$

— Springberg
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Si prega di correggermi se sbaglio, ma per quanto ne so, in realtà non sappiamo una dimensione polinomiale fissa limite inferiore per . Questo perché il solito argomento Karp-Lipton non va avanti per , dal momento che non sappiamo se (in realtà, questo equivale a chiedere se ). Tuttavia, sappiamo che non è contenuto in per qualsiasi , come mostrato da Chakaravarthy e Roy. $O_2^P$ $O_2^P$ $\textsf{NP}\subseteq O_2^P$ $\textsf{NP}\subseteq \textsf{P/poly}$ $\textsf{NP}^{O_2^P}$ $\textsf{SIZE}(n^k)$ $k$

— Apoorva Bhagwat
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