Classi di grafici con ciclo Hamiltoniano facile ma TSP NP-hard

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Il problema del ciclo Hamiltoniano (HC) consiste nel trovare un ciclo che attraversa tutti i vertici in un dato grafico non orientato. Il Traveller Salesman Problem (TSP) consiste nel trovare un ciclo che attraversa tutti i vertici in un dato grafico ponderato per i bordi e minimizza la distanza totale misurata dalla somma dei pesi dei bordi nel ciclo. HC è un caso speciale di TSP ed entrambi sono noti per essere NP-completi [Garey & Johnson]. (Vedi i link sopra per maggiori dettagli e varianti di questi problemi.)

Esistono classi di grafici studiate in cui il problema del ciclo hamiltoniano è risolvibile in un tempo polinomiale tramite un algoritmo non banale , ma il problema del commesso viaggiatore è NP-difficile?

Non banale è escludere classi come la classe di grafici completi, in cui è garantito che esista un ciclo hamiltoniano e che può essere trovato facilmente, o generalmente classi di grafici in cui è sempre garantito l'esistenza di un HC.

— Standa Zivny
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Le fotografie non sono sempre hamiltoniane, hanno prove temporali polinomiali per Hamiltonicity e NP sono difficili da risolvere per il problema del commesso viaggiatore.

Più in generale, il problema del ciclo hamiltoniano può essere risolto in tempo polinomiale (ma non è trattabile con parametri fissi) su grafici di larghezza della cricca limitata ; vedi, ad esempio, Fomin et al., "Larghezza della cricca: sul prezzo della generalità", SODA'09. Ma ancora una volta poiché queste famiglie di grafici includono i grafici completi, il TSP è difficile su questi grafici.

— David Eppstein
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Sono curioso della tua ultima affermazione. È perché il tour TSP identificherebbe efficacemente le cricche facendo sì che tutti i vertici della cricca siano contigui nel tour?

— Suresh Venkat,

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No, intendo semplicemente che TSP è difficile anche in un grafico completo e che i grafici completi sono tra quelli con larghezza della cricca limitata. I grafici completi stessi non forniscono una buona risposta alla domanda perché Hamiltonicity è banale per loro, ma le superclassi delle cricche (come le cographs) possono avere test di Hamiltonicity non banali ma polinomiali.

— David Eppstein,

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Che ne dici di grafici completi ? Poiché il TSP può sempre essere ridotto a un'istanza su grafici completi (aggiungendo le distanze adeguate tra i non-bordi), è ancora NP-difficile risolvere TSP su grafici completi. Ma tutti i grafici completi sono hamiltoniani.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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Sì, certo, grazie! Ho dimenticato di escludere grafici completi, e per questo motivo tutte le classi di grafici in cui HC è risolvibile banalmente.

— Standa Zivny,

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@Standa Zivny: Non sono sicuro se modificherai la domanda o no, ma se vuoi escludere "tutte le classi di grafici in cui HC è risolvibile in modo banale", dovresti modificare la domanda. Tuttavia, dubito che sia possibile formulare la distinzione tra il caso in cui l'HC può essere risolto "facilmente" e il caso in cui l'HC può essere risolto "banalmente".

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi Ito: un buon punto, ho modificato la domanda.

— Standa Zivny,

@StandaZivny - Non tutti i grafici che sono banali per HC sono difficili per TSP, ad esempio i grafici di percorso.

— RB

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Esistono molte classi infinite di grafici noti per avere circuiti hamiltoniani. Due classi particolarmente interessanti sono i cubi n e i grafici di Halin. Un modo di pensare ai grafici di Halin è quello di incorporare un albero con almeno 3 vertici e che non ha vertici di valenza due nel piano, quindi passare un semplice circuito attraverso i vertici 1-valente dell'albero.

http://en.wikipedia.org/wiki/Halin_graph

È noto che questi grafici hanno un HC e in realtà sono panciclici (circuiti di tutte le lunghezze) o mancano esattamente di una lunghezza del circuito che deve essere di lunghezza pari.

— Joseph Malkevitch
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