Problemi di grafico duro risolvibili in modo esponenziale

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Alla luce del recente risultato di Arora, Barak e Steurer, algoritmi subexponential per giochi unici e problemi correlati , sono interessato ai problemi grafici che presentano algoritmi temporali subexponential ma che si ritiene non risolvibili polinomialmente. Un esempio famoso è isomorfismo grafico che ha algoritmo subexponential di $2^{O(n^{1/2} \log n)}$ in fase di esecuzione. Un altro esempio è il problema log-Clique che è risolvibile in tempo quasi polinomiale ( $n^{O(\log n)}$ ).

Sto cercando esempi interessanti e preferibilmente un riferimento alle indagini di problemi su grafi principali subexponential (non necessariamente $NP$ -COMPLETE). Inoltre, ci sono delle $NP$ problemi su grafi COMPLETO DI algoritmi tempo subexponential?

Impagliazzo, Paturi e Zane hanno dimostrato che l'ipotesi del tempo esponenziale implica che Clique, k-Colorability e Vertex Cover necessitano di $2^{\Omega(n)}$ tempo.

cc.complexity-theory reference-request

— Mohammad Al-Turkistany
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Solo per completezza: log-CLIQUE =

{(G, k) | G has n vertices, k = \log n and G has a clique of size k}

$\{(G, k) | G \text{ has }n\text{ vertices, }k = \log n\text{ and }G\text{ has a clique of size }k\}$

— MS Dousti

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A proposito, il problema di Max Clique, in generale, può essere risolto in tempo $2^{\tilde O(\sqrt N)}$ dove $N$ è la dimensione dell'input.

Questo è banale se il grafico è rappresentato tramite una matrice di adiacenza, perché allora $N=|V|^2$ e una ricerca della forza bruta richiederà tempo $2^{O(|V|)}$ .

Ma possiamo ottenere lo stesso limite anche se il grafico è rappresentato da elenchi di adiacenza, tramite un algoritmo di tempo di esecuzione . Per vedere come, otteniamo un $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ -Time algoritmo per il problema decisionale NP-completo in cui ci viene dato un grafoee vogliamo sapere se v'è una cricca di dimensione. $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ $G=(V,E)$ $k$ $\geq k$

L'algoritmo rimuove semplicemente tutti i vertici di grado e i bordi incidenti su di essi, quindi lo fa di nuovo, e così via, finché non ci viene lasciato un sottografo indotto dal vertice su un sottoinsieme di vertici, ciascuno di grado , o con un grafico vuoto. In quest'ultimo caso, sappiamo che non può esistere cricca di dimensioni . Nel primo caso, eseguiamo una ricerca di forza bruta in esecuzione nel tempo all'incirca . Si noti che e $< k$ $V'$ $\geq k$ $\geq k$ $|V'|^k$ $|E| \geq k\cdot |V'| /2$ , in modo che , e così una ricerca di forza bruta in esecuzione in tempo è effettivamente in esecuzione nel tempo $k\leq |V'|$ $|E| \geq k^2/2$ $|V'|^k$ . $2^{O(\sqrt{|E|} \cdot \log |V|)}$

— Luca Trevisan
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In effetti, per questo tipo di motivi Impagliazzo, Paturi e Zane hanno sostenuto che quando si chiede circa

vs

complessità, è necessario impostare

come dimensione del testimone (che è necessario definire come parte di il problema). Nel caso

-clique il testimone è di dimensioniper piccolo , mentre, come dici tu, puoi supporre che nel wlog ci siano almenobordi e la dimensione di input è molto più grande della dimensione del testimone.

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

n

$n$

k

$k$

\log (\binom{| V |}{k}) \sim k \log | V |

$\log \binom{|V|}{k} \sim k\log |V|$

k

$k$

k | V |

$k|V|$

— Boaz Barak,

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Poiché ogni grafico planare su vertici ha una larghezza di albero , tutti i problemi che sono risolvibili in per i grafici della larghezza di albero al massimo ~ (ci sono MOLTI di questi problemi) hanno algoritmi a tempo esponenziale su grafici planari calcolando un'approssimazione di fattore costante alla larghezza dell'albero nel tempo polinomiale (ad esempio calcolando la larghezza della diramazione con l'algoritmo ratcatcher) e quindi eseguendo l'algoritmo della larghezza dell'albero, con conseguente runtime di il modulo per i grafici su vertici. Esempi sono il Set indipendente planare e il Set dominante planare, che sono ovviamente NP-completi. $n$ $O(\sqrt{n})$ $O^*(2^{O(k)})$ $k$ $O^*(2^{O(\sqrt{n})})$ $n$

— Bart Jansen
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Esiste una stretta connessione tra solvibilità temporale sub-esponenziale (SUBEPT) e tracciabilità dei parametri fissa (FPT). Il collegamento tra loro è fornito nel seguente documento.

Un isomorfismo tra teoria della complessità subesponenziale e parametrica , Yijia Chen e Martin Grohe, 2006.

In breve, hanno introdotto una nozione chiamata mappatura di miniaturizzazione , che mappa un problema con parametri in un altro problema con parametri . Visualizzando un problema normale come un problema parametrizzato dalla dimensione di input, abbiamo la seguente connessione. (Vedi il teorema 16 nel documento) $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

Teorema . è in SUBEPT sef è in FPT. $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

$k$ $k$ $O(m+n)$ $2^{O(\sqrt{m}\log m)}$ $k$ $k$

In generale, i problemi di SUBEPT nelle riduzioni SERF (famiglie di riduzione sub-esponenziali) possono essere trasformati in problemi in FPT con riduzioni FPT. (Teorema 20 nel documento) Inoltre, le connessioni sono ancora più forti poiché hanno fornito un teorema di isomorfismo tra un'intera gerarchia di problemi nella teoria della complessità temporale esponenziale e teoria della complessità parametrizzata. (Teorema 25 e 47) Sebbene l'isomorfismo non sia completo (ci sono alcuni collegamenti mancanti tra loro), è comunque bello avere un quadro chiaro di questi problemi e possiamo studiare algoritmi temporali sub-esponenziali attraverso la complessità parametrizzata.

Vedi il sondaggio di Jörg Flum e Martin Grohe, insieme a Jacobo Torán, l'editore della rubrica sulla complessità, per ulteriori informazioni.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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Sì. tra l'altro, Flum e Grohe hanno scritto il sondaggio; Toran è l'editor della colonna di complessità.

— Andy Drucker,

@Andy: grazie per la correzione. Modifica l'articolo di conseguenza.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

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$2^{o(n)}$

— XXYYXX
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N P

$\mathsf{NP}$

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N P

$NP$

L \in N P T I M E (n^{k})

$L \in NPTIME(n^k)$

L^{'}

$L'$

(x, 1^{| x |^{c}})

$(x, 1^{|x|^c})$

x \in L

$x \in L$

c > k

$c > k$

L^{'}

$L'$

N P

$NP$

2^{n^{k / c}}

$2^{n^{k/c}}$

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$n/\text{polylog } n$ $n$

$n^{1-o(1)}$ $n/\text{polylog } n$

$n/\text{polylog } n$

$2^{\Omega(n)}$ $2^{\Omega(N^\epsilon)}$ $N=n^{1/\epsilon}$ $\epsilon$

— Dana Moshkovitz
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