Crolla supponendo che

È noto che se la gerarchia polinomiale collassa Σ P 2 e M A = A M .$NP\subseteq P/Poly$$\Sigma_2^{P}$$MA = AM$

Quali sono i crolli più forti che si verificano se ?$NEXP\subseteq P/Poly$

Credo che il più forte sia che $NEXP = MA$ . Ciò è stato dimostrato da Impagliazzo Kabanets e Wigderson.

Vedere https://scholar.google.com/scholar?cluster=17275091615053693892&hl=en&as_sdt=0,5&sciodt=0,5

Sarei anche interessato a sapere di eventuali crolli più forti di così.

Modifica (8/24): OK, ho pensato a un crollo potenzialmente più forte, che deriva essenzialmente dalle prove del documento sopra citato. Poiché implica N E X P = E X P (vedere il link sopra), ed E X P è chiuso sotto il complemento, abbiamo anche N E X P chiuso sotto il complemento e quindi N E X P = M A ∩ c o M $NEXP \subset P/poly$$NEXP = EXP$$EXP$$NEXP$$NEXP = MA \cap coMA$, che è un po 'più forte. In effetti, l'ipotesi implica che per qualsiasi linguaggio , una singola stringa testimone w n può essere utilizzata nel corrispondente protocollo MA per tutte le istanze SÌ di una data lunghezza n , quindi anche N E X P = O M A ∩ c o O M A (dove O M A = "Oblivious MA", vedi Fortnow-Santhanam-me http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.156.3018&rep=rep1&type=pdf$NEXP$$w_n$$n$$NEXP = OMA \cap coOMA$$OMA$ ). Queste proprietà extra, sebbene tecniche, potrebbero rivelarsi utili in alcuni argomenti legati al circuito inferiore.

Modifica 2: Sembra che Andrew Morgan lo abbia già evidenziato. Whoops :)

A whole lot of fun things happen. Most of the ones I know of start with the IKW paper. There, the collapse $\textrm{NEXP} = \textrm{MA}$ is shown, and (I think) is the strongest literal collapse of complexity classes that we know of. There are other sorts of "collapses" though that I think should be pointed out.

Ancora più importante, penso, è la proprietà "testimone succinto universale" (anche dal documento IKW). Per uno, ti dà uno strumento da cui molti degli altri crolli sono conseguenze dirette; per un altro, i limiti inferiori del circuito recente (ad esempio qui e qui ) per $\textsf{NEXP}$ sfruttano questa connessione. In breve, la proprietà dice che, per ogni $\textsf{NEXP}$ lingua $L$ , e qualsiasi $\textsf{NEXP}$ -machine $M$ decidere $L$ , ogni $x \in L$ ha una succintamente descrivibile testimone secondo il $M$ . Formalmente, esiste un polinomio $p$ seconda di$M$ modo che per ogni $x \in L$ , vi sia un circuito $C_x$ di dimensione $p(|x|)$ modo che la tabella di verità di $C_x$ sia una sequenza di scelte non deterministiche per $M$ che portano all'accettazione sull'ingresso $x$ .

La sintonia dei testimoni è utile, perché è possibile rederire in modo diretto molti altri crolli da esso. Ad esempio, ne consegue banalmente che $\textsf{NEXP} = \textsf{coNEXP} = \textsf{EXP}$ . Ad esempio, supponiamo $L$ è in $\textsf{NEXP}$ tramite un $\textsf{NEXP}$ -machine $M$ . La proprietà testimone succinto dice che c'è un polinomio $p$ modo che $M$ abbia testimoni succinti di dimensione $p$ . Possiamo quindi decidere $L$ in $\textsf{EXP}$ , sull'ingresso $x$ , forzando brutalmente tutti i circuiti di dimensione al massimo $p(|x|)$ e verificando se codificano una sequenza di scelte che portano all'accettazione di $M$ sull'input $x$ . È possibile combinare questo con il risultato (precedentemente noto tramite prove interattive) che $\textsf{EXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{EXP} = \textsf{MA}$ per concludere$\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{NEXP} = \textsf{MA}$ .

Vale la pena sottolineare che possiamo scegliere $M$ e quindi la forma dei testimoni. Ad esempio, si può effettivamente concludere da " $\textsf{NEXP}$ ha testimoni concisi universali" che $\textsf{NEXP} = \textsf{OMA} = \textsf{co-OMA}$ . Qui $\textsf{OMA}$ è "ignaro-MA", nel senso che esiste un Merlin onesto che dipende solo dalla lunghezza dell'input. È facile vedere che $\textsf{OMA} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$ , quindi in pratica questo sta dando una forma normale per come i linguaggi $\textsf{NEXP}$ sono calcolati in $\textsf{P}/\textrm{poly}$partendo dal presupposto che $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$ in the first place. Here's one way to see the collapse to $\textsf{OMA}$:

For a language $L \in \mathsf{NEXP}$ decided by a machine $M$, construct a $\mathsf{NEXP}$ machine $M'$ as follows. View the $n$-bit input as a number $N$ between $1$ and $2^n$. For every $x$ of length $n$, guess a witness $w_x$ and run $M(x,w_x)$ to verify it. $M'(N)$ accepts if and only if $M$ accepts for at least $N$ values of $x$. The guesses are arranged such that a succinct description of a witness for $M'$ is a circuit $C$ which computes the map $(x,i) \mapsto$ the $i$-th bit of $w_x$. Now suppose that $N$ is precisely the number of strings in $L$ at length $n$. Then succinct witnesses for $M'$ on input $N$ are circuits that simultaneously encode all of $M$'s witnesses for length-$n$ inputs. In particular, if $M'$ has succinct witnesses, then all of $M$'s witnesses can be simultaneously described by the same circuit.

To complete the claim, we'll recall that $\textsf{NEXP} = \textsf{PCP}[\textrm{poly}, \textrm{poly}]$. Letting $M$ be the machine which guesses the PCP and then deterministically simulates the verifier, the above paragraph tells us the existence of simultaneously succinctly describable PCPs for every language in $\textsf{NEXP}$. So now to get $\textsf{NEXP} = \textsf{OMA}$, we have Merlin send the succinct description of the PCPs for all inputs of the current input length, which Arthur can check by just plugging in his input and then running the PCP verifier.

[Thanks to Cody Murray for pointing out the trick of using the input to count the number of strings in $L$. Previously I had $M'$ use that if $\mathsf{NEXP}\subseteq\mathsf{P/poly}$ then $\mathsf{NEXP}=\mathsf{EXP}$ to write down the truth table of $L$, but Cody's strategy is more elegant.]

As a final note, while technically implied by $\textsf{NEXP}=\textsf{MA}$, the collapse $\textsf{NEXP}=\textsf{PSPACE}$ has another interesting implication. It's known that $\textsf{PSPACE}$ has a complete language which is both downward self-reducible as well as random self-reducible. Ordinarily, all such languages sit inside $\textsf{PSPACE}$ and so we shouldn't hope to say (unconditionally) that $\textsf{NEXP}$ has such a complete language as long as we hope that $\textsf{NEXP} \ne \textsf{PSPACE}$. However, if $\textsf{NEXP} = \textsf{PSPACE}$, then $\textsf{NEXP}$ does have such complete languages. A similar statement (replacing $\textsf{NEXP}$ by $\textsf{EXP}$) was used by Impagliazzo and Wigderson to conclude a sort of "derandomization dichotomy" for $\textsf{BPP}$ in relation to $\textsf{EXP}$, so it may be useful in discovering other consequences of $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$.