Quando BPP con una moneta distorta equivale a BPP standard?

Lascia che una macchina Turing probabilistica abbia accesso a una moneta ingiusta che esce testa con probabilità $p$ (i lanci sono indipendenti). Definisci $BPP_p$ come la classe di linguaggi riconoscibile da tale macchina in tempo polinomiale. È un esercizio standard per dimostrare che:

A) Se $p$ è razionale o $BPP$ -computable allora $BPP_p=BPP$ . (Con $BPP$ calcolabile intendo: esiste un algoritmo polinomiale randomizzato che viene alimentato $n$ in ritorni unari con il razionale binario con denominatore $2^n$ che si trova entro $2^{-n-1}$ di $p$ .)

B) Per alcuni uncomputable $p$ classe $BPP_p$ contiene un linguaggio indecidibile e quindi è più grande di $BPP$ . Tali valori di $p$ formano un insieme denso in $(0,1)$ .

La mia domanda è la seguente: cosa succede tra? Esiste un criterio per $BPP_p=BPP$ ? In particolare:

1) Esistono incomprensibili nelle probabilità tali che ? (Possono essere calcolabili in alcune classi superiori).$BPP$$p$$BPP_p=BPP$

2) è più largo di per tutti i calcolabili ? (I parametri in questione sono quelli la cui espansione binaria contiene sequenze molto lunghe di zeri e / o di uno. In questo caso il calcolo dei bit mediante campionamento casuale può richiedere tempi molto lunghi, anche non calcolabili, e il problema non può essere risolto al tempo polinomiale. A volte il la difficoltà può essere superata da un'altra base di espansione, ma alcune possono ingannare tutte le basi).$BPP_p$$BPP$$p$$p$

1) Sì, ma solo per via della tua definizione. Prendi un linguaggio unario L ∈ E X P ∖ B P P (sì, so che potrebbe essere vuoto, in quel caso basta prendere qualcosa di ancora più grande di E X P ), che è molto scarso nel senso che n ∉ L se n non è una torre di 2 ′ s , cioè della forma 2 2 2 … . Definire p = ∑ n ∈ L 1 / n . Questa p non è $L\in EXP\setminus BPP$$EXP$$n\notin L$$n$$2's$$2^{2^{2^\ldots}}$$p=\sum_{n\in L} 1/n$$p$P P- calcolabile, ma p può essere approssimato in P fino a un errore additivo abbastanza piccolo che consente la simulazione di una macchina B P P p .$BPP$$p$$P$$BPP_p$

Se aveste definito B P P -computable tale che si desidera approssimativa p fino a un errore additivo di 1 / n (invece di 1 / 2 n ) in tempo polinomiale, le cose sarebbero diverse.$BPP$$p$$1/n$$1/2^n$

Aggiornare. La risposta di seguito è per il caso in cui l'errore additivo che consentiamo è 2 - n anziché 2 - n - 1 .$2^{-n}$$2^{-n-1}$

2) Sì, perché qui si può dimenticare la restrizione polinomiale sulle classi e campionando 2 n volte si può ottenere il n po '-esimo di p in B P P p .$2^n$$n$$p$$BPP_p$