Riferimento per una classe di grafici che mantengono le distanze dei sottografi quando vengono ordinati

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Diciamo che un grafo ha la proprietà se i suoi vertici possono essere ordinati in modo tale che il grafico indotto dai vertici ha $G$ $M$ $v_1, v_2, \ldots v_n$ $H_i$ $\{v_1, \ldots, v_i\}$ per tutto . In altre parole, l'aggiunta del vertice successivo nel nostro ordinamento non influisce sulla metrica della distanza del grafico corrente. $dist_{H_i} (v_j, v_k) = dist_G(v_j, v_k)$ $j,k \leq i$

Un esempio di tale grafico è la normale griglia . $n \times n$

Questa proprietà o classe di grafici ha un nome? Sono stati studiati?

reference-request graph-theory

— mich
fonte

Un semplice esempio di un grafico che non ha questa proprietà è il

-cycle per

. Questo perché, per ogni ordine, i sottografi

devono essere collegati, e quindi al momento

,

è una linea di lunghezza

, e così alcuni due vertici sono distanza

parte.

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

H_{i}

$H_i$

i = ⌊ k / 2 ⌋ + 2 < k

$i = \lfloor k/2 \rfloor +2 < k$

H_{i}

$H_i$

i - 1

$i-1$

i - 1 > ⌊ k / 2 ⌋

$i-1 > \lfloor k/2 \rfloor$

— Andrew Morgan,

D'altra parte, un candidato naturale per trovare un buon ordine

è fare un BFS da una scelta arbitraria di

. Visualizzando

come l'albero BFS con alcuni bordi in più, sembra che l'unico ostacolo per avere proprietà

è per lì per essere qualcosa di "come" un

-Cycle per

in

. Con "mi piace" intendo che esiste un

-cycle

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1, \ldots, v_n$

v_{1}

$v_1$

G

$G$

M

$M$

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

G

$G$

k

$k$

con

modo che

in

. Se chiamiamo tale ciclo "minimo", allora è vero che la proprietà

equivale alla non esistenza di cicli minimi di lunghezza almeno 5?

v_{1}, \dots, v_{k}, v_{k + 1} = v_{1}

$v_1, \ldots, v_k, v_{k+1}=v_1$

k \geq 5

$k \ge 5$

d (v_{i}, v_{j}) = | i - j |

$d(v_i,v_j) = |i-j|$

G

$G$

M

$M$

— Andrew Morgan,

1

Un cubo ha un ciclo indotto e isometrico a 6 cicli (rimuove due vertici opposti del cubo; ciò che rimane è il ciclo 6) ma può essere ordinato in modo tale da preservare la distanza (ad es. BFS). Quindi i tuoi

-cycles non sono sempre ostacoli. Questo esempio mostra anche che rimuovere avidamente i vertici che preservano le distanze può rimanere bloccato, anche quando alcuni altri ordini funzionano.

k

$k$

— David Eppstein,

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Sembrerebbe che tu stia chiedendo dei grafici che ammettono un ordine di eliminazione che preserva la distanza che forma una classe di grafici studiati in questo documento:

http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0895480195291230?journalCode=sjdmec

— JimN
fonte

2

Disponibile anche gratuitamente sulla pagina web dell'autore: lif-sud.univ-mrs.fr/%7Echepoi/dpo.ps

— Florent Foucaud

8

Non ho una risposta per tutta la tua classe di grafici, ma tre sottoclassi di grafici che hanno questa proprietà sono i grafici ereditari a distanza , i grafici cordali e i grafici mediani .

$v_1$

I grafici cordali sono i grafici che hanno un ordinamento con la proprietà che ogni vertice successivo, quando aggiunto, ha una cricca per i suoi vicini. Questo ordinamento ovviamente preserva la distanza.

Allo stesso modo, i grafici mediani (incluso il tuo esempio di griglia) hanno la proprietà che, per ogni ordine di ampiezza, ogni vertice ha un vicinato ipercubo al momento dell'aggiunta. (Vedi le pagine 76–77 di Eppstein et al, "Media Theory", Springer, 2008). Ancora una volta, questa proprietà significa che l'aggiunta non può modificare le distanze tra i vertici precedenti.

Esiste una classe di grafici per i quali non conosco un nome, che generalizza sia i grafici ereditari sia quelli a distanza, che possono essere riconosciuti in tempi polinomiali e che hanno la tua proprietà. Sono i grafici collegati che possono essere creati da un singolo vertice aggiungendo vertici uno per uno, in cui i vicini di ciascun nuovo vertice sono un sottoinsieme di uno dei quartieri chiusi del grafico precedente. Sono quasi (ma non del tutto) uguali ai grafici smontabili, la differenza è che il nuovo vertice non deve essere adiacente al vertice il cui vicinato viene copiato. Un ordinamento di eliminazione di un grafico cordale è una costruzione di questo tipo in cui ogni nuovo vertice sceglie un sottoinsieme di cricche di un quartiere. Allo stesso modo i grafici ereditari della distanza hanno una costruzione di questo tipo in cui i vicini di ogni nuovo vertice sono un intero quartiere chiuso, un quartiere aperto o un singolo vertice. Ogni nuovo vertice non può cambiare le distanze dei vertici precedenti, quindi questa sequenza di costruzione ha la proprietà che stai cercando.

Se definisci un vertice v come "rimovibile" se potrebbe essere l'ultimo in questa sequenza (ha un vicinato aperto che è un sottoinsieme del vicinato chiuso di qualcun altro), la rimozione di altri vertici rimovibili non modifica la rimovibilità di v : se il vicinato di v è un sottoinsieme di u, e rimuoviamo te come se avesse un vicinato che è un sottoinsieme di w, allora v è ancora rimovibile perché il suo vicinato è ancora un sottoinsieme di w. Pertanto, le sequenze di passaggi di rimozione che possiamo seguire per riportare un grafico a zero formano un antimatroidee una di queste sequenze può essere trovata in tempo polinomiale da un avido algoritmo che rimuove ripetutamente un vertice rimovibile ogni volta che riesce a trovarne uno. L'inversione dell'output di questo algoritmo fornisce la sequenza di costruzione per il grafico dato. Il grafico del cubo fornisce un esempio di un grafico che ha la tua proprietà (un grafico mediano) ma non è costruibile in questo modo. Penso che i grafici mediani che possono essere costruiti in questo modo siano esattamente i quadrati (che includono le griglie regolari). I grafici che hanno una sequenza costruttiva di questo tipo includono anche tutti i grafici che hanno un vertice universale, come i grafici delle ruote , quindi (a differenza dei grafici cordali e dei grafici ereditari a distanza) non sono perfetti e non sono chiusi sotto i sottografi indotti.

— David Eppstein
fonte

la proprietà di questa classe di grafici di cui non si è sicuri ricorda un ordine di eliminazione del dominio. Questo documento sembra pertinente alla domanda originale: epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/…

— JimN,

Penso che l'ordinamento di eliminazione del dominatlon possa essere lo stesso del dlsmantlability. Ma dovresti collegare quel documento in una risposta effettiva, perché il suo "ordinamento di eliminazione che preserva la distanza" sembra essere esattamente quello che la domanda originale sta ponendo.

— David Eppstein,