Quando il divario di dualità della programmazione semidefinita (SDP) è zero?

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Non sono stato in grado di trovare in letteratura una caratterizzazione precisa della scomparsa del gap di dualità SDP. Oppure, quando regge la "forte dualità"?

Ad esempio, quando si va avanti e indietro tra Lasserre e SOS SDP, in linea di principio si ha un divario di dualità. Tuttavia, in qualche modo sembra esserci qualche motivo "banale" per cui questo divario non c'è.

Le condizioni di Slater sembrano essere sufficienti ma non necessarie e si applicano a tutti i programmi convessi. Spero che per gli SDP in particolare qualcosa di più forte possa essere vero. Sarei altrettanto felice di vedere qualsiasi esempio esplicito dell'utilizzo della condizione di Slater per dimostrare la scomparsa del divario di dualità.

— gradstudent
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Esiste una teoria più complicata della dualità per gli SDP che è esatta: non esiste una "condizione extra" come quella di Slater. Ciò è dovuto a Ramana . (Per un'altra interpretazione di ciò che riguarda SOS, vedere [KS12] .) A dire il vero, non ho mai provato a capire questi documenti e sarei felice se qualcuno li avesse messi a tacere.

Una notevole conseguenza di questo lavoro è che il problema di verificare se un determinato SDP è fattibile è in NP se e solo se è in coNP. (Tuttavia, penso che gli esperti si aspettino che il problema non sia in nessuno dei due. Il limite superiore più noto è PSPACE.)

— Ryan O'Donnell
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Grazie mille per la risposta molto utile! Fammi cercare! (Che coincidenza che nelle ultime settimane ho anche cercato di elaborare il tuo documento con Daniel Kane su limiti inferiori del circuito di rete profonda! È un documento così educativo! Mi chiedevo se ciò che fai per LTF accade anche per più attivazioni realistiche come ReLU.)

— gradstudent

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min {t r (C^{T} X) : t r (A_{1}^{T} X) = b_{1}, \dots, t r (A_{m}^{T} X) = b_{m}, X ⪰ 0},

$\min\{ \mathrm{tr}(C^T X): \mathrm{tr}(A_1^T X) = b_1, \ldots, \mathrm{tr}(A_m^T X) = b_m, X \succeq 0\},$

X ≻ 0

$X\succ 0$

t r (A_{i}^{T} X) = b_{i}

$\mathrm{tr}(A_i^T X) = b_i$

{X : X_{1, 1} = 1, \dots, X_{n, n} = 1, X ⪰ 0}

$\{X: X_{1,1} = 1, \ldots, X_{n,n} = 1, X\succeq 0\}$

Per quanto riguarda la gerarchia di Lasserre / Somma dei quadrati, Lasserre ha dimostrato che se l'insieme fattibile determinato dai vincoli polinomiali ha un punto interno, allora non c'è divario di dualità. Puoi trovare una condizione più debole in questo documento .

— Sasho Nikolov
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Grazie mille per i riferimenti! Quindi anche la condizione di Slater trasformata è una condizione necessaria per l'SDP? O ci sono altre condizioni necessarie? (Presto esaminerò i documenti a cui ti riferivi, ma mi chiedevo se potevi dire qualcosa su cosa intendevi per "condizione più debole"? Intendi che la condizione nel secondo documento è ancora una condizione sufficiente e non necessaria condizione, ma è più semplice della condizione sufficiente nel primo documento?)

— gradstudent

Questa è la condizione standard di Slater, mi sono appena specializzata in SDP, il che semplifica le cose perché tutti i vincoli sono affini, ad eccezione del vincolo PSD. Questa condizione non è necessaria. Non credo che nessuna delle condizioni SoS sia necessaria, ma quella "più debole" non richiede l'esistenza di un punto interno, quindi può essere più facile da verificare.

— Sasho Nikolov,

Grazie! Quindi una condizione necessaria non è nota?

— gradstudent

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C'è una bella caratterizzazione (penso ....) di quando la dualità forte regge o fallisce per {\ em all} funzioni oggettive.

Diciamo che il semidefinito {\ em system}

$(P_{SD}) \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

$c$

$\sup c^T x \,\, s.t. \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

$c.$

$(P_{SD})$ $c$

$(P_{SD})$

https://arxiv.org/pdf/1709.02423.pdf

L'articolo uscirà presto in SIAM Review. Spero che piacerà alla gente :)

— distretto 9
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