Stato di completezza PP di MAJ3SAT

DOMANDA BREVE: MAJ-3CNF è un problema completo di PP con riduzioni multiple?

VERSIONE PIÙ LUNGA: è noto che MAJSAT (che decide se la maggior parte degli incarichi di frase proposizionale soddisfa la frase) è PP completo con riduzioni multiple e #SAT è # P completo con riduzioni parsimoniose. È anche evidente che # 3CNF (ovvero #SAT limitato alle formule 3-CNF) è # P-completo, perché la riduzione di Cook-Levin è parsimoniosa e produce un 3-CNF (questa riduzione è effettivamente utilizzata nel libro di Papadimitriou per mostra # P-completezza di #SAT).

Sembra che un argomento simile dovrebbe dimostrare che MAJ-3CNF è completo di PP con riduzioni multiple (MAJ-kCNF è MAJSAT limitato alle formule kCNF; cioè ogni clausola ha k letterali).

Tuttavia, in una presentazione di Bailey, Dalmau e Kolaitis, "Transizioni di fase di problemi di soddisfazione completa in PP", gli autori menzionano che "MAJ3SAT non è noto per essere completo in PP" (presentazione su https: //users.soe.ucsc .edu / ~ kolaitis / talk / ppphase4.ppt ). Questa frase non sembra apparire nei loro articoli correlati, solo nelle loro presentazioni.

Domande: la prova che # 3CNF è # P-complete può davvero essere adattata per dimostrare che MAJ3CNF è PP-complete? Vista l'affermazione di Bailey et al., Non sembra; se la prova non è valida, allora: esiste una prova che MAJ-3CNF è completo in PP? In caso contrario, c'è qualche intuizione sulla differenza tra PP e #P rispetto a questo risultato?

RISPOSTA BREVE:
Non è noto se sia un problema P P- completo con riduzioni multiple.$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$

RISPOSTA LUNGA:
Prima di tutto, ti riferisci a Bailey, Dalmau e Kolaitis e al loro lavoro su "Transizioni di fase di - Problemi di soddisfazione completi"$\mathsf{PP}$ nella tua domanda. Vorrei citarli:

"Vale anche la pena notare che, sebbene sia P P completo, non è noto se esiste un numero intero k ≥ 3 , tale che M A J O R I T Y k S A T è P P -completo. "$\mathsf{MAJORITY \ SAT}$$\mathsf{PP}$$k \geq 3$$\mathsf{MAJORITY}$ $\mathsf{kSAT}$$\mathsf{PP}$

[ http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X06004665 ]

È infatti corretto che la riduzione di Cook-Levin sia parsimoniosa e produca un 3CNF da un dato CNF. Poiché è # P- completo, segue immediatamente che # 3 C N F è anche # P- completo con riduzioni parsimoniose. Tuttavia, come già sottolineato in un commento, riduzioni parsimoniose non mantengono la maggioranza. Queste riduzioni introducono variabili ausiliarie per ridurre la dimensione delle clausole, ma a loro volta queste variabili ausiliarie aumentano il numero totale di assegnazioni. Ad esempio, considera il 4CNF che consiste in una singola clausola:$\mathsf{\#CNF}$$\mathsf{\#P}$$\mathsf{\#3CNF}$$\mathsf{\#P}$

$\phi = (x_1 \vee x_2 \vee x_3 \vee x_4)$

che si trasforma in

$\phi'=(x_1 \vee x_2 \vee y) \wedge (y \leftrightarrow (x_3 \vee x_4))$

usando la variabile ausiliaria e infine alla 3CNF$y$

$\psi= (x_1 \vee x_2 \vee y) \wedge (\neg y \vee x_3 \vee x_4) \wedge (y \vee \neg x_3 ) \wedge (y \vee \neg x_4).$

Questa trasformazione preserva chiaramente il conteggio dei modelli, ma è facile vedere che la maggioranza non è conservata. ha 15 incarichi soddisfacenti su 16 incarichi mentre ψ ha 15 incarichi soddisfacenti su 32 incarichi. Nel primo caso, la soddisfacibilità della maggioranza vale mentre nel secondo la soddisfacenza della maggioranza non vale.$\phi$$\psi$

Pertanto, NO, la prova che # 3CNF è -completo non può essere adattata per dimostrare che M A J 3 C N F è P- P completo? Resta da vedere se M A J 3 C N F è un problema P P- completo con riduzioni multiple.$\mathsf{\#P}$$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$

non dà molto di una visione tra le differenze di # P e P P . In realtà la variante di decisione di # 3 C N F , ad esempio D # 3 C N F , è definita come segue: dato un CNF ϕ e un numero m ≥ 0 , decidere se ϕ ha almeno m incarichi soddisfacenti. Si noti che per D # 3 C N $\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{\#P}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{\#3CNF}$$\mathsf{D\#3CNF}$$\phi$$m \geq 0$$\phi$$m$$\mathsf{D\#3CNF}$, non ci interessa la maggioranza. Pertanto, possiamo trasformare qualsiasi CNF in 3CNF usando una riduzione parsimoniosa, il che dimostra che è P P -completo con riduzioni multiple . M A J 3 C N F è semplicemente un problema diverso D # 3 C N F .$\mathsf{D\#3CNF}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{D\#3CNF}$