Gerarchie in lingue regolari

Esiste una gerarchia "simpatica" nota (può essere finita) all'interno della classe delle lingue regolari ? Di bello qui, le classi in ciascuna gerarchia catturano espressività / potenza / complessità diverse. Inoltre, l'appartenenza a ciascuna classe è "ben dimostrata" da alcuni elementi (diversamente dal problema dell'altezza delle stelle che può essere problematico).$L_0 \subseteq L_1 \subseteq L_2 \subseteq \dots$$L$

Grazie!

Ecco un elenco di diverse gerarchie di interesse, alcune delle quali sono già state menzionate in altre risposte.

1. Gerarchie di concatenazione

Una lingua $L$ è un prodotto contrassegnato di $L_0, L_1, \ldots, L_n$ se $L = L_0a_1L_1 \cdots a_nL_n$ per alcune lettere $a_1, \ldots, a_n$ . Le gerarchie di concatenazione sono definite alternando operazioni booleane e operazioni polinomiali (= unione e prodotto contrassegnato). Gerarchia di Straubing-Thérien (punto di partenza $\{\emptyset, A^*\})\ $e la gerarchia della profondità dei punti (punto iniziale $\{\emptyset, \{1\}, A^+, A^*\})\ $ sono di questo tipo, ma è possibile prendere altri punti di partenza, in particolare le lingue del gruppo (lingue accettate da un automa di permutazione).

2. Gerarchie stellari

Lo schema generale è contare il numero minimo di stelle nidificate necessarie per esprimere una lingua a partire dalle lettere, ma sono possibili diverse varianti, a seconda degli operatori di base consentiti. Se si consente solo l'unione e il prodotto, si definisce l'altezza della stella limitata, se si consente l'unione, il complemento e il prodotto, si definisce l'altezza della stella (generalizzata) e se si consente l'unione, l'intersezione e il prodotto si definisce l'altezza della stella intermedia . Ci sono lingue di stelle ristretta $n$ per ogni $n$ e su può effettivamente calcolare la stella-altezza di un determinato linguaggio regolare. Per l'altezza delle stelle, l'altezza delle stelle $0$ è decidibile ( lingue senza stelle ), esistono lingue dell'altezza delle stelle $1$, ma non è nota alcuna lingua di altezza delle stelle $2$ ! Nessun risultato è noto sull'altezza della stella intermedia. Vedi questo documento per una panoramica.

3. Gerarchie logiche

Ce ne sono molti, ma uno dei più importanti è la cosiddetta gerarchia. Una formula si dice che sia un Σ n -Formula se è equivalente ad una formula di forma Q ( x 1 , . . . , X k ) φ dove φ è quantificatore libera e Q ( x 1 , . . . , X k ) è una sequenza di $\Sigma_n$$\Sigma_n$$Q(x_1,...,x_k)\varphi$$\varphi$$Q(x_1,...,x_k)$$n$blocchi di quantificatori tale che il primo blocco è presente solo quantificatori esistenziali (nota che questo primo blocco può essere vuoto), il secondo blocco quantificatori universali, ecc Allo stesso modo, se è formato da n alternando blocchi di quantificatori che iniziano con un blocco di quantificatori universali (che di nuovo potrebbero essere vuoti), diciamo che φ è una formulazione Π n . Indichiamo con Σ n (risp. Π n ) la classe dei linguaggi che possono essere definiti da un Σ n -Formula (risp. Un $Q(x_1,...,x_k)$$n$$\varphi$$\Pi_n$$\Sigma_n$$\Pi_n$$\Sigma_n$ -Formula) e dalla B Σ n la chiusura booleano Σ n -Lingue. Infine, lascia Δ n = Σ n ∩ Π n . Il quadro generale è simile al seguente È necessario ovviamente specificare la firma. Di solito c'è un predicato a per ogni lettera (e una x significa che c'è una lettera a nella posizione x nella parola). Quindi si può aggiungere un simbolo binario$\Pi_n$$\mathcal{B}\Sigma_n$$\Sigma_n$$\Delta_n = \Sigma_n \cap \Pi_n$$\mathbf{a}$$\mathbf{a}x$$a$$x$$<$(la gerarchia corrispondente è la gerarchia Straubing-Thérien) e anche un simbolo successore (la gerarchia corrispondente è la gerarchia a punti). Altre possibilità includono un predicato, contare modulo n , etc. Vedi anche questo documento per una panoramica.$Mod$$n$

4. Gerarchie booleane

Lo schema generale (che non è specifico delle lingue normali) è dovuto a Hausdorff. Sia una classe di lingue contenente l'insieme vuoto e l'insieme completo e chiuso sotto intersezione finita e unione finita. Sia D n ( L ) la classe di tutte le lingue della forma X = X 1 - X 2 + ⋯ ± X n dove X i ∈ L e X 1 ⊇ X 2 ⊇ X 3 ⊇ ⋯ ⊇ X n . Da$\mathcal{L}$$\mathcal{D}_n(\mathcal{L})$

$$\begin{equation} X = X_1 - X_2 + \cdots \pm X_n \end{equation}$$ $X_i\in \mathcal{L}$$X_1 \supseteq X_2\supseteq X_3 \supseteq \cdots \supseteq X_n$, le classi D n ( L ) definiscono una gerarchia e la loro unione è la chiusura booleano L . Ancora una volta, sono possibili vari punti di partenza.$\mathcal{D}_n(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{D}_{n+1}(\mathcal{L})$$\mathcal{D}_n(\mathcal{L})$$\mathcal{L}$

5. Complessità del gruppo

Un risultato di Krohn-Rhodes (1966) afferma che ogni DFA può essere simulato da una cascata di automi e automi a reset (chiamati anche flip-flop) i cui semigruppi di transizione sono gruppi finiti. La complessità di gruppo di una lingua è il minor numero di gruppi coinvolti in una tale scomposizione del DFA minimo della lingua. Le lingue di complessità sono esattamente le lingue senza stelle e esistono lingue di qualsiasi complessità. Tuttavia, non è nota alcuna caratterizzazione efficace delle lingue della complessità 1 .$0$$1$

6. Gerarchie ereditate dalla complessità del circuito

Il punto di partenza è il bell'articolo che mostra in particolare che la classe A C 0 ∩ R e g è decidibile. Sia A C C ( q ) = { L ⊆ { 0 , 1 } ∗ ∣ L ⩽ A C 0 M O D q } , dove M O D q = { u ∈ { 0 , 1 $[1]$$AC^0 \cap Reg$$ACC(q) = \{ L \subseteq \{0,1\}^* \mid L \leqslant_{AC^0} MOD_q\}$ . Se q divide q ′ , allora A C C ( q ) ⊆ A C C ( q ′ ) . Una domanda interessante è sapere se A C C ( q ) ∩ R e g è decidibile per qualsiasi q .$MOD_q = \{u \in \{0,1\}^* \mid |u|_1 \equiv 0 \bmod q\}$$q$$q'$$ACC(q) \subseteq ACC(q')$$ACC(q) \cap Reg$$q$

Barrington, David A. Mix; Compton, Kevin; Straubing, Howard; Thérien, Denis. Lingue regolari in N C 1 . J. Comput. System Sci. 44(1992)$[1]$$NC^1$

Espandere il commento: una gerarchia naturale è quella indotta dal numero di stati del DFA.

Possiamo definire $\mathcal{L}_n = \{ L \mid \text{ exists an n-states DFA D s.t. } L(D) = L \}$

( , | Q | = n )$D = \{Q, \Sigma, \delta, q_0, F \}$$|Q| = n$

Chiaramente (usa semplicemente gli stati morti)$\mathcal{L}_n \subseteq \mathcal{L}_{n+1}$

Per mostrare l'inclusione corretta possiamo semplicemente scegliere la lingua: L n + 1 = { a i ∣ i ≥ n } ∈ L n + $\mathcal{L}_n \subsetneq \mathcal{L}_{n+1}$$L_{n+1} = \{ a^{i} \mid i \geq n \} \in \mathcal{L}_{n+1}$

In modo molto informale: il DFA (minimo) che riconosce deve essere una "catena di stati" di lunghezza n + 1 : q 0 → a q 1 → a . . . → a q n , F = { q n } e q n → a q n ( q n ha un loop automatico). Quindi n + 1 stati sono sufficienti per accettare$\{ a^{i} \mid i \geq n \}$$n+1$$q_0 \to^a q_1 \to^a ... \to^a q_n$$F = \{q_n\}$$q_n \to^a q_n$$q_n$$n+1$ . Ma ogni percorso di accettazione da q 0 a uno stato finale q f che è rigorosamente più breve di n + 1 deve accettare alcuni a i con i < n che non appartiene a L n + 1 , quindi un DFA con n o meno stati non può accetta L n + 1 .$L_{n+1}$$q_0$$q_f$$n+1$$a^{i}$$i < n$$L_{n+1}$$n$$L_{n+1}$

Di recente mi sono imbattuto in questo documento che può fornire un altro esempio pertinente (cfr. L'ultima frase dell'abstract):

Guillaume Bonfante, Florian Deloup: il genere delle lingue normali.

Dall'abstract: l'articolo definisce e studia il genere di automi deterministici a stati finiti (FSA) e linguaggi regolari. In effetti, un FSA può essere visto come un grafico per il quale sorge la nozione di genere. Allo stesso tempo, un FSA ha una semantica attraverso il suo linguaggio di base. È quindi naturale stabilire una connessione tra le lingue e la nozione di genere. Dopo aver introdotto e giustificato la nozione del genere per le lingue regolari, [...] costruiamo lingue regolari di genere arbitrario di grandi dimensioni: la nozione di genere definisce una corretta gerarchia di lingue regolari.

Esistono diverse gerarchie naturali per linguaggi regolari di parole infinite, che trasmettono una nozione di "complessità del linguaggio", ad esempio:

• Numero di gradi necessari in un automa di parità deterministico
• Gerarchia di Wadge (o Wagner): complessità topologica, livelli .$\omega^\omega$

Queste gerarchie possono essere generalizzate per linguaggi regolari di alberi infiniti, per i quali compaiono nuove gerarchie, vedere ad esempio questa risposta .