Esistono problemi NP completi senza un sottoinsieme infinito di istanze tale che l'appartenenza a Φ può essere decisa in tempo polinomiale e per tutti x ∈ Φ , x può essere risolta in tempo polinomiale? (Supponendo P ≠ N P )
Risposte:
Vedi la risposta di Josh Grochow al superset temporale Poly del linguaggio completo NP con infinite stringhe escluse da esso . Secondo tale risposta, sotto alcune ipotesi crittografiche naturali, per ogni problema co-NP-completo esiste un sottoinsieme infinito di istanze tale che l'appartenenza a Φ è tempo polinomiale e il problema decisionale limitato a Φ è banale (risposta sempre no) .
Questo può essere formalizzato affermando che nessun set completo di NP-completo è immune da P. È anche noto (sempre secondo ipotesi crittografiche) che nessun set NP completo è immune al P. Quindi esiste un altro sottoinsieme infinito tale che l'appartenenza a Φ ′ è testabile in tempo polinomiale e il problema decisionale limitato a Φ ′ ha sempre risposta sì. Vedere ad es. Glasser et al., "Proprietà dei set NP completi", SICOMP 2006, doi: 10.1137 / S009753970444421X .
Una prima osservazione è che avere esattamente ciò che chiedi sarebbe una prova che poiché ciò implicherebbe che l'insieme di tutte le istanze non può essere risolto in un tempo polinomiale.
Tuttavia, e penso che questo sia ciò che intendevi, possiamo giocare un po 'con ciò che intendiamo per "risolto in tempo polinomiale". Se intendiamo con ciò tutti i sottoinsiemi infiniti di istanze la cui appartenenza è in P sono N P completi, allora la risposta è no dal Teorema di Mahaney ( http://blog.computationalcomplexity.org/2007/06/sparse-sets-tribute -to-mahaney.html ). Questo teorema afferma che nessun problema NP-completo può essere sparse a meno che P = N P . Ora, prendendo il sottoinsieme di istanze { 0 i ∣ i ∈ N } , abbiamo un sottoinsieme sparso infinito di istanze per le quali si trova l'appartenenza al test che non può essere N P completo a meno che P = N P dal teorema di Mahaney.