Un problema multi-taglio

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Sto cercando un nome o qualsiasi riferimento a questo problema.

Dato un grafico ponderato $G = (V, E, w)$ trova una partizione dei vertici fino a $n = |V|$ imposta $S_1,\ldots,S_n$ modo da massimizzare il valore dei bordi tagliati:

c (S_{1}, \dots, S_{n}) = \sum_{i \neq j} (\sum_{(u, v) \in E : u \in S_{i}, v \in S_{j}} w (u, v))

$c(S_1,\ldots,S_n) = \sum_{i \ne j}\left(\sum_{(u,v)\in E : u \in S_i, v \in S_j}w(u,v)\right)$ Nota che alcuni dei set

S_{i}

$S_i$ possono essere vuoti. Quindi il problema è essenzialmente max k-cut, tranne che

k

$k$ non fa parte dell'input: l'algoritmo può scegliere qualsiasi

k

$k$ che gli piace in modo da massimizzare il valore dei bordi di taglio. Ovviamente, il problema è banale se i pesi dei bordi non sono negativi: basta posizionare ogni vertice da solo nel suo set e tagliare tutti i bordi. Ma, per rendere le cose interessanti, sono ammessi bordi con peso negativo.

È un problema studiato? I riferimenti ai risultati algoritmici o di durezza sarebbero apprezzati!

— Aaron Roth
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Per avere più intuizione sul problema, cosa sai di casi speciali semplici? Ad esempio, cosa succede se i pesi sono solo

o

? Cosa succede se

è un grafico completo e i pesi sono

?

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

G

$G$

\pm 1

$\pm 1$

— Jukka Suomela,

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Il problema è una variante di Correlation Clustering (CC) Bansal, N., Blum, A. e Chawla, S. (2004). "Clustering di correlazione". Journal di Machine Learning (numero speciale sui progressi teorici nel clustering dei dati, pagg. 86-113, doi: 10.1023 / B: MACH.0000033116.57574.95.

$G$ $(v,w)$ $a(v,w)$ $b(v,w)$ $P$ $c_P(v,w)$ $a(v,w)$ $v$ $w$ $P$ altrimenti. Quindi il valore di una partizione di è . $b(v,w)$ $P$ $V$ $\sum_{v,w} c(v,w)$

$a(v,w)=0$ $b(v,w)$ $O(\log n)$

I PTAS descritti si basano sulla regolare tecnica di programmazione polinomiale: nel caso più generale non credo che il tuo problema soddisfi i requisiti della tecnica.

— Gianluca Della Vedova
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Non conosco alcun riferimento, ma posso dimostrare che è NP-completo, tramite una riduzione dalla colorazione del grafico.

Dato un grafico G e un numero k di colori con cui colorare G, crea un nuovo grafico G 'che consiste di G insieme a k nuovi vertici, in modo tale che ogni nuovo vertice sia collegato a ogni vertice in G. Assegna peso + kn a ciascun bordo di G, peso + kn a ciascun bordo che collega due dei k nuovi vertici e peso -1 a ciascuno dei bordi che collegano i k nuovi vertici a G.

Quindi, se G può essere colorato di k, la colorazione (insieme a una partizione che assegna ciascuno dei nuovi vertici a una delle classi di colore) raggiunge il peso totale kn (m + k (k-1) / 2) - (k -1) n.

Nella direzione opposta, se si dispone di una partizione che raggiunge questo peso totale, è necessario tagliare tutti i bordi di G e tutti i bordi tra coppie di nuovi vertici. Tagliare tutti i bordi di G definisce una colorazione di G, e tagliare i bordi tra coppie di nuovi vertici implica che ogni vertice di G può essere adiacente al massimo a uno dei k nuovi vertici. Pertanto, al fine di ottenere il termine ottimale - (k-1) n nel peso, ciascun vertice di G deve essere adiacente esattamente a uno dei nuovi vertici, e pertanto possono esserci solo k classi di colori nella colorazione definita dal partizione.

Cioè, le partizioni con il dato peso associato sono in corrispondenza dell'1-1 con i coloranti k di G, quindi questo definisce una riduzione dalla colorazione al problema della partizione.

— David Eppstein
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Consentitemi di integrare la bella prova di completezza NP di David aggiungendo un riferimento al caso speciale chiesto da Jukka in un commento sulla domanda. Se il grafico è il grafico completo e i pesi dei bordi sono limitati a ± 1, il problema è equivalente al problema NP completo noto come Modifica cluster.

Il Cluster Editing è il seguente problema introdotto da Shamir, Sharan e Tsur [SST04]. Qui, un grafico a grappolo è un grafico che è un'unione di cricche disgiunte da vertici e una modifica è l'aggiunta o la rimozione di un bordo.

Istanza di modifica del cluster : un grafico G = ( V , E ) e un numero intero k ∈ℕ.
Domanda : È possibile trasformare G in un grafico a grappolo al massimo con k modifiche?

Il Cluster Editing è NP-completo [SST04].

Per vedere il Cluster Editing è equivalente al summenzionato caso speciale del problema attuale, sia G = ( V , E ) un grafico. Sia n = | V | e considera G come un sottografo del grafico completo K _n . In K _n , dare il peso -1 ai bordi in G e il peso +1 ai bordi non in G . Quindi G può essere trasformato in un grappolo al massimo da k modifiche se e solo se esiste una partizione ( S ₁ , ..., S _n ) tale che c ( S ₁ , ..., $\binom{n}{2}$

[SST04] Ron Shamir, Roded Sharan e Dekel Tsur. Problemi di modifica del grafico del cluster. Discrete Applied Mathematics , 144 (1–2): 173–182, novembre 2004. http://dx.doi.org/10.1016/j.dam.2004.01.007

— Tsuyoshi Ito
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